Question

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график f(x)=x3-x2+4 P.s. можно с рисунком пожалуйста)))

Answer 1

1)D(y)=R

2)f'(x)=3x2-2x

3)y=0,3x2-2x=0

x=0 или 3x-2=0

             x=1.5 

4)x=0, y=0.

       (-бесконечность;0)  0      (0;1.5)          1.5        (1.5;+бесконечность)

f'(x)    +                          0          -              3.75          +

f(x)    возрастает            4      убывает      12.875       возрастает

                                           минимум 

Answer 2

Для исследования функции f(x) = x^3 - x^2 + 4 с помощью производной, мы сначала найдем производную функции.

f'(x) = 3x^2 - 2x

Затем проанализируем поведение функции на интервалах, где производная равна нулю или не существует.

1) Найдем точки, где производная равна нулю:

3x^2 - 2x = 0 x(3x - 2) = 0

Таким образом, x = 0 или x = 2/3.

2) Проверим наличие экстремумов в найденных точках:

Для x = 0: f''(0) = 6(0) - 2 = -2 < 0 Так как вторая производная отрицательна, то функция имеет локальный максимум в точке x = 0.

Для x = 2/3: f''(2/3) = 6(2/3) - 2 = 2 > 0 Так как вторая производная положительна, то функция имеет локальный минимум в точке x = 2/3.

3) Исследуем поведение функции на интервалах, где производная не существует:

Производная существует для всех значений x, поэтому нет интервалов, на которых производная не существует.

4) Определим поведение функции на интервалах, используя знаки производной:

Для x < 0: f'(x) < 0, так как 3x^2 - 2x < 0 при x < 0 То есть функция убывает на интервале x < 0.

Для 0 < x < 2/3: f'(x) > 0, так как 3x^2 - 2x > 0 при 0 < x < 2/3 То есть функция возрастает на интервале 0 < x < 2/3.

Для x > 2/3: f'(x) > 0, так как 3x^2 - 2x > 0 при x > 2/3 То есть функция возрастает на интервале x > 2/3.

Из этого анализа мы можем сделать следующие выводы:

- Функция имеет локальный максимум в точке x = 0 и локальный минимум в точке x = 2/3. - Функция убывает на интервале x < 0 и возрастает на интервалах 0 < x < 2/3 и x > 2/3.

Теперь построим график функции f(x):