Question

Решите уравнения: 1) (х-3)²+(х+4)²-(х-5)²=17х+24; 2) (х+5)²+(х-2)²+(х-7)(х+7)=11х+80.

Answer 1

1) x^2-6x+9+x^2+8x+16-x^2+10x-25=17x+24;
x^2+2x+25-25+10x=17x+24;
x^2+12x=17x+24;
x^2-5x-24=0;
D=121; x1=8; x2=-3;
2) x^2+10x+25+x^2-4x+4+x^2-49=11x+80;
3x^2+6x-20=11x+80;
3x^2-5x-100=0;
D=1225; x1=5+35/6=40/6=20/3;
x2=-30/6=-5;

Answer 2

1) (х-3)^2+(х+4)^2-(х-5)^2=17х+24
х^2-6х+9+х^2+8х+16-х^2+20х-25=17х+24
х^2-5х-36=0
D=25-4*36=169
x1=13+5/2=8
x2=13-5/2=4
2)(x+5)^2+(x-2)^2+(x-7)(x+7)=11x+80
x^2+10x+25+x^2-4x+4+x^2-49=11x+80
3x^2-5x-100=0
D=25+1200=1225
x1=35+5/6=20/3
x2=35-5/6=5

Answer 3

Давайте начнем с решения первого уравнения:

Решение уравнения 1

1) Раскроем скобки в уравнении:

(х-3)² + (х+4)² - (х-5)² = 17х + 24

Это даст нам:

х² - 6х + 9 + х² + 8х + 16 - (х² - 10х + 25) = 17х + 24

2) После раскрытия скобок получаем:

2х² + 2х + 25 = 17х + 24

3) Переносим все члены уравнения в одну сторону:

2х² - 15х + 1 = 0

Теперь можно воспользоваться квадратным уравнением для нахождения решений. Для этого воспользуемся формулой:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

где a = 2, b = -15, c = 1.

4) Подставим значения a, b, c в формулу и найдем корни уравнения.

\[x = \frac{{-(-15) \pm \sqrt{{(-15)^2 - 4*2*1}}}}{{2*2}}\]

\[x = \frac{{15 \pm \sqrt{{225 - 8}}}}{{4}}\]

\[x = \frac{{15 \pm \sqrt{{217}}}}{{4}}\]

Таким образом, корни уравнения будут:

\[x_1 = \frac{{15 + \sqrt{{217}}}}{{4}}\] \[x_2 = \frac{{15 - \sqrt{{217}}}}{{4}}\]

Теперь перейдем к решению второго уравнения.

Решение уравнения 2

1) Раскроем скобки в уравнении:

(х+5)² + (х-2)² + (х-7)(х+7) = 11х + 80

Это даст нам:

х² + 10х + 25 + х² - 4х + 4 + (х² - 49) = 11х + 80

2) После раскрытия скобок получаем:

3х² + 2х - 20 = 11х + 80

3) Переносим все члены уравнения в одну сторону:

3х² - 9х - 100 = 0

Теперь можно воспользоваться квадратным уравнением для нахождения решений. Для этого воспользуемся формулой:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

где a = 3, b = -9, c = -100.

4) Подставим значения a, b, c в формулу и найдем корни уравнения.

\[x = \frac{{-(-9) \pm \sqrt{{(-9)^2 - 4*3*(-100)}}}}{{2*3}}\]

\[x = \frac{{9 \pm \sqrt{{81 + 1200}}}}{{6}}\]

\[x = \frac{{9 \pm \sqrt{{1281}}}}{{6}}\]

Таким образом, корни уравнения будут:

\[x_1 = \frac{{9 + \sqrt{{1281}}}}{{6}}\] \[x_2 = \frac{{9 - \sqrt{{1281}}}}{{6}}\]

Таким образом, мы решили оба уравнения и нашли их корни.