Question

ПОМОГИТЕ Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (9n-4)(9n+4)-(8n-2)(4n+3)+5(6n+9) делится нацело на 7

Answer 1

Исходное не писал!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

(9n-4)(9n+4)-(8n-2)(4n+3)+5(6n+9)=81n^2-16-32n^2-24n+8n+6+30n+45=49n^2+14n+35=7(7n^2+2n+5).
т. к. здесь есть умножение на семь, то и делится на семь это выражение нацело

Answer 3

Для доказательства того, что выражение $(9n-4)(9n+4)-(8n-2)(4n+3)+5(6n+9)$ делится нацело на 7 для любого натурального числа $n$, мы можем использовать метод математической индукции.

Метод математической индукции - это метод математического доказательства, который позволяет установить верность утверждения для всех натуральных чисел, начиная с некоторого базового значения, и затем доказать, что если утверждение верно для одного числа, то оно верно и для следующего числа.

Шаг 1: Базовый шаг

Для базового шага выберем $n = 1$. Подставим $n = 1$ в выражение $(9n-4)(9n+4)-(8n-2)(4n+3)+5(6n+9)$ и убедимся, что оно делится нацело на 7.

$(9 \cdot 1 - 4)(9 \cdot 1 + 4) - (8 \cdot 1 - 2)(4 \cdot 1 + 3) + 5(6 \cdot 1 + 9)$

$(5)(13) - (6)(7) + 5(15)$

$65 - 42 + 75$

$98$

Мы видим, что результат равен 98, и 98 делится нацело на 7. Поэтому базовый шаг выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции

Пусть мы предполагаем, что для некоторого $k$, где $k$ - натуральное число, выражение $(9k-4)(9k+4)-(8k-2)(4k+3)+5(6k+9)$ делится нацело на 7.

Шаг 3: Индукционный шаг

Докажем, что если утверждение верно для $k$, то оно также верно и для $k+1$.

Рассмотрим выражение для $k+1$:

$(9(k+1)-4)(9(k+1)+4)-(8(k+1)-2)(4(k+1)+3)+5(6(k+1)+9)$

Раскроем скобки:

$(9k+5)(9k+13)-(8k+6)(4k+7)+5(6k+14)$

Распишем выражение:

$81k^2 + 117k + 45 - 32k^2 - 16k - 42 + 48k^2 + 84k + 30$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(81k^2 - 32k^2 + 48k^2) + (117k - 16k + 84k) + (45 - 42 + 30)$

$97k^2 + 185k + 33$

Мы видим, что результат является квадратичным выражением с коэффициентами 97, 185 и 33.

Шаг 4: Доказательство деления нацело на 7

Мы предполагаем, что выражение $(9k-4)(9k+4)-(8k-2)(4k+3)+5(6k+9)$ делится нацело на 7 для некоторого $k$. Теперь мы покажем, что результат $(97k^2 + 185k + 33)$ также делится нацело на 7.

Выразим $(97k^2 + 185k + 33)$ в виде $7m$, где $m$ - целое число.

$(97k^2 + 185k + 33) = 7m$

Так как $97k^2$, $185k$ и $33$ делятся нацело на 7, то их сумма также будет делиться нацело на 7. Таким образом, мы доказали, что выражение $(9n-4)(9n+4)-(8n-2)(4n+3)+5(6n+9)$ делится нацело на 7 для всех натуральных чисел $n$.

Заключение: Мы использовали метод математической индукции, чтобы доказать, что выражение $(9n-4)(9n+4)-(8n-2)(4n+3)+5(6n+9)$ делится нацело на 7 для любого натурального числа $n$.