Question

Докажите торжество а) 1-cos2x/ 1+cos2x =tg^2x

Answer 1

$\displaystyle \frac{1-\cos2x}{1+\cos2x}= \frac{1-(1-2\sin^2x)}{1+(2\cos^2x-1)} = \frac{1-1+2\sin^2x}{1+2\cos^2x-1}= \frac{2\sin^2x}{2\cos^2x} =tg^2x$

Answer 2

Для доказательства равенства, нам необходимо преобразовать левую и правую части выражения и показать, что они равны.

Начнем с левой части: 1 - cos(2x) / (1 + cos(2x))

Мы можем преобразовать данное выражение, используя формулу двойного угла для косинуса: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Подставим это значение в левую часть: 1 - (2cos^2(x) - 1) / (1 + 2cos^2(x) - 1) 1 - (2cos^2(x) - 1) / (2cos^2(x)) 1 - 2cos^2(x) + 1 / (2cos^2(x)) 2 - 2cos^2(x) / (2cos^2(x)) 2(1 - cos^2(x)) / (2cos^2(x)) 2sin^2(x) / (2cos^2(x))

После сокращения на 2 в числителе и знаменателе, получаем: sin^2(x) / cos^2(x)

Теперь рассмотрим правую часть: tg^2(x)

Мы знаем, что tg(x) = sin(x) / cos(x), поэтому: tg^2(x) = (sin(x) / cos(x))^2 sin^2(x) / cos^2(x)

Таким образом, мы доказали, что левая и правая части равенства равны друг другу:

sin^2(x) / cos^2(x) = tg^2(x)