Question

В трех вершинах находится три кузнечика. Они играют в чихарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик А прыгает через кузнечика Б, то после прыжка он оказывается от Б на том де расстоянии, что и до прыжка, и, естесвенно, на той же прямой. Может ди один из них попасть в четвертую вершину квадрата?

Answer 1

Нет не может.Докажем:
Введём координаты на плоскости так, чтобы три точки, в которых находятся кузнечики в самом начале, получили координаты: (0, 0), (0, 1) и (1, 0). Если кузнечик сидит в точке (x,у) и прыгает через кузнечика (А, Б), то он оказывается в точке (2А - х, 2Б - у). Следует, что при прыжках чётность обеих координат у каждого кузнечика сохраняется. Поэтому в те точки, у которых  координаты нечётны, — в частности, в точку (1, 1) — ни один из кузнечиков попасть не может. 

Answer 2

Да, один из кузнечиков может попасть в четвертую вершину квадрата.

Предположим, что у нас есть квадрат ABCD, где вершины A, B и C заняты кузнечиками, а вершина D пуста.

Пусть кузнечик A прыгает через кузнечика B и оказывается на расстоянии от B, равном исходному расстоянию между ними. Теперь кузнечик B может прыгнуть через кузнечика C и оказаться на таком же расстоянии от C, как и до прыжка.

Таким образом, кузнечик B окажется в вершине D, если он прыгнет с того же расстояния, на котором он находился до прыжка.

Таким образом, кузнечик B может попасть в вершину D.