Question

(x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a)+a^4 доказать что это полный квадрат

Answer 1

На картинках два способа решения.

Answer 2

Перемножим 
25 a^4 + 50 a^3 x + 35 a^2 x^2 + 10 a x^3 + x^4
попробуем выделить полный квадрат
в него явно входит 5a^2 и x^2 
Но при наличии только этих двух слагаемых результирующий многочлен не имел бы а и х в третьей степени.
Значит, есть ещё что-то. Обозначим это нечто как z
(5a^2 +z+ x^2 )^2-(25 a^4 + 50 a^3 x + 35 a^2 x^2 + 10 a x^3 + x^4)=
z^2 + 2 x^2 z + 10 a^2 z - 50 a^3 x - 25 a^2 x^2 - 10 a x^3 =0
Решим это квадратное уравнение относительно z
корня два
z = 5 a x
и второй
z = -10 a^2 - 5 a x - 2 x^2
второй не интересен :)
Ответ
(5 a^2 + 5 a x + x^2)^2 - квадрат исходного выражения

Answer 3

Для начала давайте раскроем скобки и упростим выражение (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a)+a^4:

(x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a) = (x^2 + 2ax + ax + 2a^2)(x^2 + 3ax + 2ax + 6a^2) = (x^2 + 3ax + 2ax + 6a^2)(x^2 + 5ax + 3ax + 12a^2) = (x^2 + 5ax + 3ax + 12a^2)(x^2 + 2ax + 3ax + 6a^2) = (x^2 + 5ax + 3ax + 12a^2)(x^2 + 5ax + 3ax + 12a^2) = (x^2 + 5ax + 3ax + 12a^2)^2.

Теперь мы видим, что выражение (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a)+a^4 является квадратом выражения x^2 + 5ax + 3ax + 12a^2, таким образом, это полный квадрат.

Доказательство: Мы можем представить выражение (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a)+a^4 в виде (x^2 + 5ax + 3ax + 12a^2)^2, что демонстрирует, что оно является квадратом данного выражения.