Question

Решите уравнение 5*(1/5)^соs2x=5^sin2x

Answer 1

5·5^-Cos 2x = 5^Sin2x
5^(1-Cos 2x) = 5^Sin 2x
1 - Cos2x = Sin 2x
Sin 2x + Cos 2x = 1|²
Sin²2x + 2sin2x Cos 2x + Cos²2x = 1
1 + Sin 4x = 1
Sin 4x = 0
4x = π n, n∈Z
x = πn/4 , n∈Z

Answer 2

Давайте решим уравнение 5*(1/5)^cos(2x) = 5^sin(2x) подробно.

Первый шаг: Упрощение выражений

Для начала упростим выражения в уравнении. Заметим, что 5^sin(2x) можно записать в виде (1/5)^-sin(2x) по свойству степени с отрицательным показателем.

Теперь уравнение примет вид: 5*(1/5)^cos(2x) = (1/5)^-sin(2x)

Второй шаг: Приведение выражения к общему основанию

Чтобы решить это уравнение, приведем оба выражения к общему основанию. Общим основанием будет (1/5).

5*(1/5)^cos(2x) = (1/5)^-sin(2x)

Теперь у нас есть общее основание, поэтому можем записать уравнение в виде:

5^(1-cos(2x)) = 5^(-sin(2x))

Третий шаг: Применение логарифмов

Поскольку основание обоих выражений равно 5, мы можем применить логарифмы по основанию 5 к обоим сторонам уравнения:

log5(5^(1-cos(2x))) = log5(5^(-sin(2x)))

1 - cos(2x) = -sin(2x)

Четвертый шаг: Приведение выражения к одной переменной

Теперь мы можем свести выражение к одной переменной. Заметим, что -sin(2x) можно записать в виде -cos(π/2 - 2x), используя тригонометрическое тождество.

1 - cos(2x) = -cos(π/2 - 2x)

Пятый шаг: Решение уравнения

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной. Решим его:

1 - cos(2x) = -cos(π/2 - 2x)

1 - cos(2x) = cos(2x - π/2)

Теперь мы можем решить это уравнение, используя свойства тригонометрии. Заметим, что cos(2x) = cos(2x - π/2) только при определенных значениях x.

Шестой шаг: Решение уравнения

Чтобы найти значения x, удовлетворяющие уравнению, мы должны решить уравнение cos(2x) = cos(2x - π/2).

Используя свойства косинуса, мы знаем, что cos(α) = cos(β) только тогда, когда α - β = 2πn, где n - целое число.

Таким образом, получаем два уравнения:

2x - (2x - π/2) = 2πn

или

2x - (2π - (2x - π/2)) = 2πn

Седьмой шаг: Нахождение значений x

Решим первое уравнение:

2x - (2x - π/2) = 2πn

2x - 2x + π/2 = 2πn

π/2 = 2πn

Так как π/2 не является кратным 2π, это уравнение не имеет решений.

Решим второе уравнение:

2x - (2π - (2x - π/2)) = 2πn

2x - 2π + 2x - π/2 = 2πn

4x - 2π - π/2 = 2πn

4x = 2πn + 2π + π/2

4x = 2π(n + 1) + π/2

x = (2π(n + 1) + π/2) / 4

Ответ

Таким образом, решение уравнения 5*(1/5)^cos(2x) = 5^sin(2x) будет задаваться формулой:

x = (2π(n + 1) + π/2) / 4, где n - целое число.