Question

Докажите тождества: tga + ctga = 1/cosa * sina

Answer 1

Tga=sina/cosa
ctga=cosa/sina
tga+ctga=sina/cosa+cosa/sina
tga+ctga=sin^2+cos^2/cosa*sina
tga+ctga=1/cosa*sina т.к. sin^2+cos^2=1

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся определениями тригонометрических функций и свойствами операций с ними.

Имеем: tga = sin(a)/cos(a) (определение тангенса) ctga = cos(a)/sin(a) (определение котангенса)

Теперь заменим в исходном тождестве tga и ctga их определениями: sin(a)/cos(a) + cos(a)/sin(a) = 1/(cos(a) * sin(a))

Для удобства дальнейших вычислений, умножим обе части уравнения на cos(a) * sin(a):

(sin(a)/cos(a) + cos(a)/sin(a)) * cos(a) * sin(a) = (1/(cos(a) * sin(a))) * cos(a) * sin(a)

Получаем: sin(a) * sin(a) + cos(a) * cos(a) = 1

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством: sin^2(a) + cos^2(a) = 1 (тождество Пифагора для тригонометрических функций)

Таким образом, исходное тождество tga + ctga = 1/(cosa * sina) доказано.