Question

Найти производную y=7 ^cos^2x

Answer 1

y= 7 ^(cos^2x)
y! = 7 ^(cos^2x) * (ln7) * 2*cosx*(-sinx)  = 
= -  7 ^(cos^2x) * (ln7) * (sin2x)

Answer 2

Для нахождения производной функции y = 7^(cos^2(x)) мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции. Давайте разберемся подробнее.

Применение правила дифференцирования сложной функции

Правило дифференцирования сложной функции, также известное как правило цепной дифференциации, гласит:

Если у нас есть функция f(g(x)), то производная этой функции f(g(x)) равна произведению производной функции f(g(x)) по переменной g(x) и производной функции g(x) по переменной x.

Теперь применим это правило к нашей функции.

Нахождение производной

Для начала, мы можем представить функцию y = 7^(cos^2(x)) в виде композиции двух функций: f(g(x)), где f(u) = 7^u и g(x) = cos^2(x).

Теперь найдем производные этих двух функций:

1. Производная функции f(u) = 7^u: Для нахождения производной данной функции, мы можем использовать правило дифференцирования функции вида a^u, где a - постоянное число и u - функция от переменной. В данном случае a = 7 и u = cos^2(x). Производная функции f(u) = 7^u будет равна произведению натурального логарифма по основанию 7 и производной функции u = cos^2(x):

f'(u) = ln(7) * u'

Здесь u' - производная функции u = cos^2(x). Давайте найдем ее. 2. Производная функции g(x) = cos^2(x): Эта функция представляет собой квадрат косинуса переменной x. Мы можем использовать цепное правило для нахождения производной. Правило дифференцирования функции f(u) = u^2 гласит: f'(u) = 2u * u', где u - функция от переменной.

Применяя это правило к функции g(x) = cos^2(x), мы получаем:

g'(x) = 2 * cos(x) * cos'(x)

Здесь cos'(x) - производная функции cos(x). Давайте найдем ее.

3. Нахождение производной функции cos(x): Производная функции cos(x) равна отрицательной синусу переменной x:

cos'(x) = -sin(x)

Теперь, когда у нас есть производные функций f(u) = 7^u и g(x) = cos^2(x), мы можем найти производную исходной функции y = 7^(cos^2(x)).

Применяя правило дифференцирования сложной функции, мы получаем:

y' = f'(g(x)) * g'(x)

Подставляя значения производных, мы получаем:

y' = ln(7) * u' * 2 * cos(x) * cos'(x)

Используя значения производных, полученных ранее, мы можем записать окончательное выражение для производной функции:

y' = ln(7) * cos^2(x) * 2 * cos(x) * (-sin(x))

Таким образом, производная функции y = 7^(cos^2(x)) равна:

y' = -2 * ln(7) * cos^2(x) * cos(x) * sin(x)

Это окончательный ответ. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!