Question

Дам около 50 баллов!!! Докажите, что (13^n +5) для любого натурального n делится на 6. 8 класс. Не знаю, как решить. Говорят, через индукции. Но их проходят в старшей школе. Помогите, пожалуйста

Answer 1

Можно обойтись и без индукции.
13^n+5=(12+1)^n+5
рассмотрим (12+1)^n содержит слагаемые, в которые
входит 12 в некоторой степени, что делится на 6.
и плюс 1. но 1+5=6- что тоже делится на 6.
Значит каждое слагаемое делится на 6, следовательно на 6 делится и вся сумма.

Answer 2

Докажите, что (13^n +5) для любого натурального n делится на 6

Докажем методом мат.инукции

1)n=1    13¹+5=18=3*6   делится на 6     верно
2) допустим, что верно при n=k
3) докажем, что верно при n=k+1

$13^{k+1} +5=13*13^k+5=13*13^k+65-60=13(13^k+5)-6*10$
первое слагаемое делится на 6 , так как один из множителей делится на 6 по предположению
второе слагаемое делится на 6 , так как один из множителе равен 6

Answer 3

Proof that (13^n + 5) is divisible by 6 for any natural number n

To prove that (13^n + 5) is divisible by 6 for any natural number n, we can use mathematical induction. Mathematical induction is a method commonly used to prove statements about natural numbers.

Step 1: Base Case First, we need to prove that the statement holds true for the base case, which is n = 1.

When n = 1, (13^1 + 5) = 18. We can see that 18 is divisible by 6 since 18 divided by 6 equals 3 with no remainder.

Therefore, the statement is true for the base case.

Step 2: Inductive Hypothesis Next, we assume that the statement is true for some arbitrary value of n, denoted as k. This is called the inductive hypothesis.

Assuming that (13^k + 5) is divisible by 6, we need to prove that the statement is also true for the next value, which is n = k + 1.

Step 3: Inductive Step To prove the inductive step, we need to show that if the statement is true for n = k, then it is also true for n = k + 1.

Let's assume that (13^k + 5) is divisible by 6. We can express (13^(k+1) + 5) as (13^k * 13 + 5).

Now, let's consider the expression (13^k * 13 + 5) modulo 6.

Using modular arithmetic, we can simplify the expression as follows:

(13^k * 13 + 5) ≡ (1^k * 1 + 5) ≡ (1 + 5) ≡ 6 ≡ 0 (mod 6)

Since (13^(k+1) + 5) is congruent to 0 modulo 6, we can conclude that (13^(k+1) + 5) is divisible by 6.

Step 4: Conclusion By proving the base case and the inductive step, we have shown that if the statement is true for n = k, then it is also true for n = k + 1. Therefore, by mathematical induction, we can conclude that (13^n + 5) is divisible by 6 for any natural number n.