Question

1. На конференцию надо отправить трёх человек из восьми. Сколькими способами это можно сделать? 2. На собрании должны выступить пять человек - A, B, C, D, E. Сколькими способами это можно сделать, если A должен выступить первым? 3. Решите уравнение 20×An-2^3 = An^5

Answer 1

1. $C_8^3= \frac{8!}{3!(8-3)!}= \frac{8!}{3!*5!}= \frac{6*7*8}{1*2*3}=7*8=56$ 

2. Если А должен выступать первым, то количество способов будет равно количеству перестановок из 4-х элементов B, C, D, E.
P₄=4! = 1*2*3*4 =24

3.

 $20*A_{n-2}^3=A_n^5\\\\ \frac{20(n-2)!}{(n-2-3)!}= \frac{n!}{(n-5)!}\\\\ \frac{20(n-2)!}{(n-5)!}= \frac{n!}{(n-5)!}\\\\OD3: n \geq 5\\\\20(n-2)!=n!\\20(n-2)!-n!=0\\(n-2)!(20-(n-1)n)=0\\(n-2)!(20-n^2+n)=0\\(n-2)! \neq 0\\20-n^2+n=0\\n^2-n-20=0\\D=(-1)^2-4*1*(-20)=1+80=81=9^2\\n_1=(1+9)/2=5\\n_2=(1-9)/2=-4 \notin N\\\\n=5$

Answer 2

1. Для первого вопроса, чтобы определить, сколькими способами можно выбрать трех человек из восьми для отправки на конференцию, мы можем использовать формулу комбинаторики - сочетания без повторений. Формула для этого случая выглядит следующим образом:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Где: - n - общее количество элементов (в данном случае 8 человек) - k - количество элементов, которые нужно выбрать (в данном случае 3 человека) - ! - символ факториала, означающий произведение всех целых чисел от 1 до данного числа

Подставляя значения в формулу, мы получим:

C(8, 3) = 8! / (3! * (8-3)!)

Расчитаем это:

C(8, 3) = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 56

Таким образом, можно выбрать трех человек из восьми для отправки на конференцию 56 различными способами.

2. Для второго вопроса, чтобы определить, сколькими способами пять человек A, B, C, D, E могут выступить на собрании, при условии, что A должен выступить первым, мы можем использовать перестановки. Перестановки - это упорядоченные комбинации элементов. Формула для этого случая выглядит следующим образом:

P(n, k) = n! / (n-k)!

Где: - n - общее количество элементов (в данном случае 5 человек) - k - количество элементов, которые нужно выбрать (в данном случае 5 человек) - ! - символ факториала, означающий произведение всех целых чисел от 1 до данного числа

Подставляя значения в формулу, мы получим:

P(5, 5) = 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 5!

Расчитаем это:

P(5, 5) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

Таким образом, пять человек A, B, C, D, E могут выступить на собрании 120 различными способами, при условии, что A выступает первым.

3. Для третьего вопроса, чтобы решить уравнение 20 × An-2^3 = An^5, где An обозначает число An в степени n, нужно использовать алгебраические методы решения уравнений. Давайте посмотрим на это подробнее:

Дано: 20 × An-2^3 = An^5

Чтобы упростить это уравнение, возведем 2 в степень 3:

20 × An - 8 = An^5

Теперь перенесем все члены с An на одну сторону уравнения:

20 = An^5 + 8 - An

Теперь у нас есть уравнение вида An^5 - An + 8 = 20, которое можно решить методами алгебры. Однако, точное аналитическое решение уравнения может быть сложным или невозможным. В таких случаях можно использовать численные методы решения, такие как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти приближенное решение уравнения. Если вам нужно получить точное решение или дополнительные подробности, пожалуйста, уточните условия задачи или обратитесь к методам численного решения уравнений.