Question

Сколько корней имеет уравнение (2x+7)^4+(2x-4)^4=0

Answer 1

$(2x+7)^{4}+(2x-4)^{4}=0$
$\sqrt{(2x+7)^{4}+(2x-4)^{4}=0}$
$(2x+7)^{2}+(2x-4)^{2}=0$
$4x^{2}+28x+49+4x^{2}-16x+16=0$
$8x^{2}+12x+65=0$
$D=144-2080=-1936$
Корней не имеет

Answer 2

Для начала давайте разберемся с уравнением. Уравнение вида \( (2x + 7)^4 + (2x - 4)^4 = 0 \) представляет собой уравнение четвертой степени. Чтобы найти корни этого уравнения, мы можем воспользоваться методом замены переменной, чтобы привести его к более простому виду.

Метод замены переменной для уравнения четвертой степени

Давайте проведем замену переменной, чтобы преобразовать уравнение \( (2x + 7)^4 + (2x - 4)^4 = 0 \) к более простому виду.

Пусть \( u = (2x + 7)^2 \) и \( v = (2x - 4)^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ u^2 + v^2 = 0 \]

Теперь давайте рассмотрим, какие значения могут принимать квадраты \( u \) и \( v \). Поскольку квадрат любого числа всегда неотрицательный, то \( u^2 \geq 0 \) и \( v^2 \geq 0 \). Следовательно, их сумма \( u^2 + v^2 \geq 0 \), и равенство \( u^2 + v^2 = 0 \) возможно только в том случае, если каждое из слагаемых равно нулю: \( u^2 = 0 \) и \( v^2 = 0 \).

Нахождение корней

Теперь мы можем решить уравнения \( u^2 = 0 \) и \( v^2 = 0 \), чтобы найти корни исходного уравнения.

Для \( u^2 = 0 \), получаем: \[ (2x + 7)^2 = 0 \] \[ 2x + 7 = 0 \] \[ 2x = -7 \] \[ x = -\frac{7}{2} \]

А для \( v^2 = 0 \), получаем: \[ (2x - 4)^2 = 0 \] \[ 2x - 4 = 0 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \]

Таким образом, уравнение \( (2x + 7)^4 + (2x - 4)^4 = 0 \) имеет два корня: \( x = -\frac{7}{2} \) и \( x = 2 \).