Question

На 22 карточках написаны натуральные числа от 1 до 22. Из этих карточек составили 11 дробей. Какое наибольшее кол-во этих дробей могут иметь целые значения?

Answer 1

10.

Среди чисел 1-22 числа 13, 17, 19 взаимно просты со остальными числами. Тогда как минимум одна нецелая дробь будет (из одного из этих чисел можно составить дробь со знаменателем 1, а из двух оставшихся целых дробей не сделать). А вот сделать так, что у 10 дробей будут целые значения, можно:
13/1, 14/2, 15/3, 20/4, 10/5, 12/6, 21/7, 16/8, 18/9, 22/11, 19/17

Answer 2

Для решения этой задачи необходимо определить, какие числа можно представить в виде дробей с целыми значениями. Чтобы дробь имела целое значение, числитель должен быть кратен знаменателю.

В данной задаче у нас есть 22 карточки с числами от 1 до 22. Мы можем составить 11 дробей, используя эти числа. Чтобы максимизировать количество дробей с целыми значениями, нам нужно выбрать числа с наименьшим количеством различных простых делителей.

Шаг 1: Посмотрим на числа от 1 до 22 и их разложение на простые множители:

1 = 1 2 = 2 3 = 3 4 = 2 * 2 5 = 5 6 = 2 * 3 7 = 7 8 = 2 * 2 * 2 9 = 3 * 3 10 = 2 * 5 11 = 11 12 = 2 * 2 * 3 13 = 13 14 = 2 * 7 15 = 3 * 5 16 = 2 * 2 * 2 * 2 17 = 17 18 = 2 * 3 * 3 19 = 19 20 = 2 * 2 * 5 21 = 3 * 7 22 = 2 * 11

Шаг 2: Теперь мы выбираем числа с наименьшим количеством различных простых делителей. Это числа, которые содержат только один простой множитель.

Таким образом, мы выбираем следующие числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

Шаг 3: Мы можем составить дроби, используя эти числа в числителе и любое из чисел от 1 до 22 в знаменателе. Если числитель и знаменатель имеют одинаковое значение, то дробь будет иметь целое значение.

Таким образом, наибольшее количество дробей, которые могут иметь целые значения, равно количеству чисел, которые мы выбрали на шаге 2.

В нашем случае, мы выбрали 8 чисел, поэтому наибольшее количество дробей, которые могут иметь целые значения, равно 8.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.