Question

Исследовать график функции на монотонность и екстремумы y=x⁴-5x²+4

Answer 1

Найдем производную функции и приравняем нулю:
y`(x) = 4x^3 - 10x = 0
4x(x^2 - 2.5) = 0
x1 = 0 ; x2 = корень(2.5); x3 = -корень(2.5)
Т.к. исходная функция имеем наивысшую четную степень, то очевидно, что она убывает на интервале: (-беск; -корень(2.5)) и возрастает на интервале: (корень(2.5); + беск)
Осталось проанализировать 2 интервала, подставим значение из интервалов в производную:
y`(-1) = -4 + 10 = 6  - т.е. функция возрастает на интервале (-корень(2.5); 0)
y`(1) = 4 - 10 = -6 - функция убывает на интервале (0; корень(2.5)) 

Answer 2

Для исследования графика функции на монотонность и экстремумы, нам необходимо проанализировать производные функции. Давайте рассмотрим функцию y = x⁴ - 5x² + 4 и найдем ее производные.

Нахождение первой производной:

Для нахождения первой производной функции y = x⁴ - 5x² + 4, мы возьмем производную от каждого члена функции по отдельности и сложим их:

dy/dx = 4x³ - 10x

Нахождение второй производной:

Для нахождения второй производной функции, мы продолжим дифференцирование первой производной:

d²y/dx² = d/dx (4x³ - 10x) = 12x² - 10

Анализ монотонности и экстремумов:

Обратим внимание, что экстремумы функции находятся в точках, где первая производная равна нулю, а монотонность функции определяется знаком второй производной.

1. Найдем точки, где первая производная равна нулю: 4x³ - 10x = 0 2x(2x² - 5) = 0

Из этого уравнения следует, что либо x = 0, либо 2x² - 5 = 0. Решая второе уравнение, получаем: 2x² - 5 = 0 2x² = 5 x² = 5/2 x = ±√(5/2)

Таким образом, у нас есть три точки, где первая производная равна нулю: x = 0, x = √(5/2) и x = -√(5/2).

2. Определим знаки второй производной в этих точках: Для x = 0: d²y/dx² = 12(0)² - 10 = -10 Знак второй производной отрицательный, следовательно, в точке x = 0 у функции есть максимум.

Для x = √(5/2): d²y/dx² = 12(√(5/2))² - 10 = 12(5/2) - 10 = 30 - 10 = 20 Знак второй производной положительный, следовательно, в точке x = √(5/2) у функции есть минимум.

Для x = -√(5/2): d²y/dx² = 12(-√(5/2))² - 10 = 12(5/2) - 10 = 30 - 10 = 20 Знак второй производной положительный, следовательно, в точке x = -√(5/2) у функции есть минимум.

Итоговый анализ:

Таким образом, функция y = x⁴ - 5x² + 4 имеет максимум в точке x = 0 и минимумы в точках x = √(5/2) и x = -√(5/2).