Question

F(x)=(2x+3)|2-x|. Найти область значения, определения. Возрастание и убывание функции. Нули функции. Точки экстремума. 2-х под модулем!!!!

Answer 1

Область определения (-оо, +оо)
Нули в точках x1 = -3/2; x2 = 2
При x <= 2 f(x) = (2x+3)(2-x) = 4x + 6 - 2x^2 - 3x = -2x^2 + x + 6
f ' (x) = -4x + 1 = 0; x1 = 1/4; f(1/4) = (1/2+3)(2-1/4) = 7/2*7/4 = 49/8 = 6,125
При x<1/4 f'(x)>0, ф-ция возрастает. При 1/4<x<=2 f'(x)<0, ф-ция убывает.
Это точка максимума.
При x > 2 f(x) = (2x+3)(x-2) = 2x^2 + 3x - 4x - 6 = 2x^2 - x - 6
f ' (x) = 4x - 1 = 0; x2 = 1/4 < 2, поэтому при x > 2 экстремумов нет.
Функция всюду возрастает.
Область значений - (-оо, +оо). В точке x2(2, 0) перелом.

Answer 2

Определение функции и область значений: Функция \( F(x) = (2x+3)|2-x| \) представляет собой комбинацию линейной функции \( 2x+3 \) и модуля \( |2-x| \). Областью значений функции является множество всех возможных значений, которые функция может принимать.

Определение: - Область определения функции \( F(x) = (2x+3)|2-x| \) - это множество всех значений \( x \), для которых функция определена. Так как у модуля \( |2-x| \) значение внутри модуля не может быть отрицательным, область определения будет зависеть от значения \( 2-x \). Решим уравнение \( 2-x \geq 0 \) чтобы найти область определения. Решение этого уравнения будет \( x \leq 2 \).

Возрастание и убывание функции: - Чтобы определить возрастание и убывание функции, рассмотрим производную функции \( F(x) \). Производная \( F'(x) \) позволяет определить поведение функции в различных точках. - Рассчитаем производную функции \( F(x) = (2x+3)|2-x| \) и найдем интервалы, на которых функция возрастает или убывает.

Нули функции и точки экстремума: - Нули функции - это значения \( x \), для которых \( F(x) = 0 \). - Точки экстремума - это точки, в которых функция достигает локального максимума или минимума.

Давайте начнем с расчета области определения и продолжим с анализом возрастания, убывания, нулей функции и точек экстремума.