Question

Докажите, что разность между квадратом натурального чилса, не кратного 3, и числом 1 кратна 3

Answer 1

Если натуральное число не кратно 3, значит оно делится на 3 с остатком 1 или 2. То есть его можно представить в виде: (3к+1)  или  (3к+2), где к - натуральный индекс.

Проверим каждый из вариантов:

1) (3k+1)^2 - 1 = (3k+1-1)(3k+1+1) = 3k(3k+2) - делится на 3.

2) (3k+2)^2 - 1 =(3k+2-1)(3k+2+1) = (3k+1)(3k+3) = 3(3k+1)(k+1) - делится на 3.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте предположим, что у нас есть натуральное число n, которое не кратно 3. Тогда разность между квадратом этого числа и числом 1 будет равна n^2 - 1.

Мы можем представить n^2 - 1 как (n-1)(n+1). Таким образом, мы видим, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 представляет собой произведение двух последовательных чисел (n-1) и (n+1).

Теперь докажем, что произведение двух последовательных чисел всегда кратно 3. Для этого рассмотрим три случая:

1) Если n кратно 3, то (n-1) и (n+1) не кратны 3, и их произведение будет кратно 3.

2) Если n = 3k + 1, где k - натуральное число, то (n-1) кратно 3, а (n+1) не кратно 3. Таким образом, их произведение будет кратно 3.

3) Если n = 3k + 2, где k - натуральное число, то (n-1) не кратно 3, а (n+1) кратно 3. Их произведение также будет кратно 3.

Таким образом, во всех трех случаях произведение двух последовательных чисел будет кратно 3. Следовательно, разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 также будет кратна 3.