Question

(x+0.5)/(9x+3)+(8x^2+3)/9x^2-1)=(x+2)/(3x-1)

Answer 1

(x+0.5)/(9x+3)+(8x^2+3)/(9x^2-1)=(x+2)/(3x-1)

Answer 2

Для начала упростим левую часть уравнения:

(x+0.5)/(9x+3) + (8x^2+3)/(9x^2-1)

Сначала факторизуем знаменатель второго слагаемого:

9x^2-1 = (3x+1)(3x-1)

Теперь разложим второе слагаемое на простейшие дроби:

(8x^2+3)/(9x^2-1) = A/(3x+1) + B/(3x-1)

8x^2+3 = A(3x-1) + B(3x+1)

Решим систему уравнений для нахождения коэффициентов A и B:

8x^2+3 = A(3x-1) + B(3x+1)

Подставим x = 1/3:

8(1/3)^2 + 3 = A(3*(1/3)-1) + B(3*(1/3)+1)

8/9 + 3 = -A/3 + B/3 + A + B

27/9 = A + B

A + B = 3

Подставим x = -1/3:

8(-1/3)^2 + 3 = A(3*(-1/3)-1) + B(3*(-1/3)+1)

8/9 + 3 = -A/3 - B/3 - A + B

27/9 = -A + B

-A + B = 3

Решим систему уравнений:

A + B = 3 -A + B = 3

Сложим оба уравнения:

2B = 6

B = 3

Теперь найдем A:

A + 3 = 3 A = 0

Итак, мы получили:

(8x^2+3)/(9x^2-1) = 0/(3x+1) + 3/(3x-1)

Теперь подставим это обратно в наше уравнение:

(x+0.5)/(9x+3) + 0/(3x+1) + 3/(3x-1)

(x+0.5)/(9x+3) + 3/(3x-1)

Теперь можем объединить дроби с общим знаменателем:

((x+0.5)(3x-1) + 3(9x+3))/(9x+3)(3x-1)

(3x^2 - x + 1.5x - 0.5 + 27x + 9)/(27x^2 - 9)

(3x^2 + 28.5x + 8.5)/(27x^2 - 9)

Теперь упростим правую часть уравнения:

(x+2)/(3x-1)

Теперь умножим обе части уравнения на (27x^2 - 9), чтобы избавиться от знаменателей:

(3x^2 + 28.5x + 8.5) = (x+2)(9x+3)

3x^2 + 28.5x + 8.5 = 9x^2 + 3x + 18x + 6

3x^2 + 28.5x + 8.5 = 9x^2 + 21x + 6

0 = 6x^2 - 7.5x - 2.5

6x^2 - 7.5x - 2.5 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

D = (-7.5)^2 - 4*6*(-2.5) = 56.25 + 60 = 116.25

x1,2 = (-(-7.5) +/- sqrt(116.25))/(2*6) = (7.5 +/- 10.77)/12

x1 = (7.5 + 10.77)/12 = 18.27/12 = 1.5225 x2 = (7.5 - 10.77)/12 = -3.27/12 = -0.2725

Итак, получаем два решения уравнения: x1 = 1.5225 и x2 = -0.2725.