Question

Докажите неравенство 8a(3–2a)≤64a+25.

Answer 1

------------------------

Answer 2

Для доказательства неравенства 8a(3-2a) ≤ 64a + 25, мы можем использовать алгебраические преобразования и свойства неравенств. Давайте приступим к решению.

1. Раскроем скобки в левой части неравенства: 8a(3-2a) = 24a - 16a^2

2. Теперь уравнение принимает вид: 24a - 16a^2 ≤ 64a + 25

3. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение равенства: 0 ≤ 16a^2 - 40a + 25

4. Попробуем решить это квадратное уравнение. Для начала найдем дискриминант: D = (-40)^2 - 4 * 16 * 25 = 1600 - 1600 = 0

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень.

5. Подставим дискриминант в формулу для нахождения корня: x = (-b ± √D) / (2a)

x = (-(-40)) / (2 * 16) = 40 / 32 = 5/4 = 1.25

Таким образом, уравнение имеет один корень x = 1.25.

6. Проверим значения неравенства для разных интервалов. a < 1.25: Пусть a = 1, тогда левая часть неравенства равна 24 * 1 - 16 * 1^2 = 24 - 16 = 8, а правая часть равна 64 * 1 + 25 = 64 + 25 = 89. Очевидно, что 8 < 89, неравенство выполняется. a > 1.25: Пусть a = 2, тогда левая часть неравенства равна 24 * 2 - 16 * 2^2 = 48 - 64 = -16, а правая часть равна 64 * 2 + 25 = 128 + 25 = 153. Очевидно, что -16 < 153, неравенство выполняется.

Исходя из проверки значений, мы видим, что неравенство 8a(3-2a) ≤ 64a + 25 выполняется при любом значении a.

Таким образом, неравенство 8a(3-2a) ≤ 64a + 25 верно для всех значений переменной a.