Question

Помогите до конца доисследовать функцию на монотонность и экстремумы: Уж и производную нашел, и нулю приравнял, и х вычислил. Но с ответом не совпадает, точнее пол ответа совпадает, там где функция убывает, а вторая половина ответа не совпадает, там, где она возрастает. Объясните, пожалуйста, как это решается?

Answer 1

$y=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-x\; ,\; \; ODZ:\; \; x\in (-\infty,+\infty)\\\\y'=\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot x^{-\frac{1}{3}}-1=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1=0\\\\\frac{1-\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}=0\\\\\sqrt[3]{x}=1\; ,\; x=1\; \; \; i \; \; \; \sqrt[3]{x}\ne 0\; ,\; x\ne 0\\\\Znaki\; y':\; \; \; ----(0)+++(1)-----\\\\y(x)\; \; ybuvaet\; \; pri\; \; x\in (-\infty,0)\; i\; x\in(1,+\infty)\\\\y(x)\; \; vozrastaet\; \; pri\; \; x\in (0,1)\\\\x_{max}=1,x_{min}=0$

Answer 2

Решение задачи о монотонности и экстремумах функции

Для исследования функции на монотонность и экстремумы необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. 2. Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. 3. Проверить знак производной в интервалах между найденными точками. 4. Определить, где функция возрастает и убывает. 5. Найти экстремумы функции.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для исследования функции на монотонность и экстремумы необходимо найти ее производную. Производная функции показывает, как функция меняется в зависимости от значения аргумента.

Шаг 2: Нахождение точек, в которых производная равна нулю или не существует

Чтобы найти точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, нужно решить уравнение производной равной нулю и проверить точки, в которых производная не существует.

Шаг 3: Проверка знака производной в интервалах

После нахождения точек, в которых производная равна нулю или не существует, нужно проверить знак производной в интервалах между этими точками. Если производная положительна в интервале, то функция возрастает. Если производная отрицательна в интервале, то функция убывает.

Шаг 4: Определение монотонности функции

На основе знака производной в интервалах можно определить, где функция возрастает и убывает. Если производная положительна в интервале, то функция возрастает. Если производная отрицательна в интервале, то функция убывает.

Шаг 5: Нахождение экстремумов функции

Экстремумы функции находятся в точках, где производная равна нулю или не существует. Чтобы определить, является ли экстремум максимумом или минимумом, можно использовать вторую производную или анализировать поведение функции в окрестности точки экстремума.

Объяснение несовпадения ответа

Если половина ответа совпадает с поведением функции (убывает или возрастает), а другая половина не совпадает, возможно, была допущена ошибка при нахождении производной или при определении знака производной в интервалах. Рекомендуется внимательно проверить каждый шаг решения и убедиться в правильности выполнения вычислений.

Пример решения задачи:

Предположим, что у нас есть функция f(x), и мы хотим исследовать ее на монотонность и экстремумы.

1. Найдем производную функции f'(x). 2. Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю. 3. Проверим знак производной в интервалах между найденными точками. 4. Определим, где функция возрастает и убывает. 5. Найдем экстремумы функции.

Пример решения задачи можно представить следующим образом:

1. Пусть f(x) = x^2 - 2x + 1.
   Тогда f'(x) = 2x - 2.

2. Решим уравнение f'(x) = 0:
   2x - 2 = 0
   2x = 2
   x = 1.

Таким образом, точка x = 1 является точкой, в которой производная равна нулю.

3. Проверим знак производной в интервалах:
   - Если x < 1, то f'(x) < 0, следовательно, функция убывает.
   - Если x > 1, то f'(x) > 0, следовательно, функция возрастает.

4. Определим монотонность функции:
   - Функция убывает на интервале (-∞, 1).
   - Функция возрастает на интервале (1, +∞).

5. Найдем экстремумы функции:
   - Точка x = 1 является точкой минимума функции.

Таким образом, функция f(x) = x^2 - 2x + 1 убывает на интервале (-∞, 1), возрастает на интервале (1, +∞), и имеет точку минимума в точке x = 1.

Надеюсь, это объяснение поможет вам разобраться в решении задачи о монотонности и экстремумах функции. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!