Question

Найди сумму первых 5 членов геометрической прогрессии если известно что ее знаменатель равен 2, и b2+b4=30(Даю 20 БАЛЛОВ!!!!!!!!)

Answer 1

Дано: $q=2$, $b_2+b_4=30$
Найти: $S_5$
                       Решение:
Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии:
$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$
тогда
$b_2+b_4=b_1q+b_1q^3=30$

Подставим $q=2$, имеем:
$b_1\cdot 2+b_1\cdot 2^3=30|:2\\ b_1+4b_1=15\\ 5b_1=15\\ b_1=3$

Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
 $S_n= \dfrac{b_1(1-q^n)}{1-q}$
тогда сумма первых 5 членов этой прогрессии:
$S_5= \dfrac{b_1\cdot (1-q^5)}{1-q}= \dfrac{3\cdot(1-2^5)}{1-2} = 93$


Ответ: $93.$

Answer 2

Для нахождения суммы первых 5 членов геометрической прогрессии нам необходимо знать первый член и знаменатель прогрессии. Из условия известно, что знаменатель прогрессии равен 2. Также известно, что b2 (второй член) умноженный на b4 (четвертый член) равен 30.

Обозначим первый член прогрессии как b1, второй член как b2, третий член как b3, четвертый член как b4 и пятый член как b5.

Тогда имеем: b2 = b1 * 2 b3 = b1 * 2^2 b4 = b1 * 2^3 b5 = b1 * 2^4

Также из условия известно, что b2 * b4 = 30, следовательно: (b1 * 2) * (b1 * 2^3) = 30 2 * b1 * b1 * 2^3 = 30 2 * 8 * b1^2 = 30 16 * b1^2 = 30 b1^2 = 30 / 16 b1^2 = 15 / 8 b1 = √(15 / 8) b1 = √15 / √8 b1 = (√15 / 2√2)

Теперь, когда мы знаем первый член прогрессии (b1) и знаменатель (q), можем найти сумму первых 5 членов геометрической прогрессии по формуле: S5 = b1 * (1 - q^5) / (1 - q) S5 = (√15 / 2√2) * (1 - 2^5) / (1 - 2) S5 = (√15 / 2√2) * (1 - 32) / (1 - 2) S5 = (√15 / 2√2) * (-31) / (-1) S5 = (√15 / 2√2) * 31 S5 = 31√15 / 2√2

Таким образом, сумма первых 5 членов геометрической прогрессии равна 31√15 / 2√2.