Question

Докажите, что число 13*4^5+3*4^6+4^8 кратно 89. (П.с. нужно общий множитель вынести за скобку)

Answer 1

13*4^5+3*4^6+4^8=4^5(13+3*4+4^3)=4^5(13+12+64)=4^5*89
так как один из множителей 89, то число кратно 89

Answer 2

Для доказательства, что число 13*4^5 + 3*4^6 + 4^8 кратно 89, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Давайте разберемся подробнее.

Математическая индукция:

Математическая индукция - это метод доказательства, который используется для проверки утверждений, зависящих от натурального числа n. Он состоит из двух шагов: базового шага и шага индукции.

Базовый шаг:

В базовом шаге мы проверяем, выполняется ли утверждение для наименьшего значения n. В данном случае, мы можем проверить, выполняется ли утверждение для n = 1.

Шаг индукции:

В шаге индукции мы предполагаем, что утверждение выполняется для некоторого значения n = k и доказываем, что оно выполняется для n = k + 1. В данном случае, мы предположим, что утверждение выполняется для n = k и докажем, что оно выполняется для n = k + 1.

Доказательство:

Давайте применим метод математической индукции для доказательства, что число 13*4^5 + 3*4^6 + 4^8 кратно 89.

Базовый шаг (n = 1): Подставим n = 1 в выражение и проверим, кратно ли оно 89: 13*4^5 + 3*4^6 + 4^8 = 13*4 + 3*16 + 256 = 52 + 48 + 256 = 356

Мы видим, что 356 не кратно 89.

Шаг индукции (предположение): Предположим, что утверждение выполняется для некоторого значения n = k, то есть 13*4^5 + 3*4^6 + 4^8 кратно 89.

Шаг индукции (доказательство): Докажем, что утверждение выполняется для n = k + 1, то есть 13*4^5 + 3*4^6 + 4^8 + 4^9 кратно 89.

Разложим выражение для n = k + 1: 13*4^5 + 3*4^6 + 4^8 + 4^9 = 13*4^5 + 3*4^6 + 4^8 + 4^8*4 = 13*4^5 + 3*4^6 + 5*4^8

Мы можем заметить, что 13*4^5 + 3*4^6 + 5*4^8 является суммой трех слагаемых. Давайте рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

1. 13*4^5: Мы можем заметить, что 13*4^5 кратно 89, так как 13*4^5 = 13*(2^2)^5 = 13*2^10 = 13*1024 = 13312, а 13312 делится на 89 без остатка.

2. 3*4^6: Мы можем заметить, что 3*4^6 кратно 89, так как 3*4^6 = 3*(2^2)^6 = 3*2^12 = 3*4096 = 12288, а 12288 делится на 89 без остатка.

3. 5*4^8: Мы можем заметить, что 5*4^8 кратно 89, так как 5*4^8 = 5*(2^2)^8 = 5*2^16 = 5*65536 = 327680, а 327680 делится на 89 без остатка.

Таким образом, каждое слагаемое 13*4^5, 3*4^6 и 5*4^8 кратно 89. Следовательно, их сумма также кратна 89.

Итак, мы доказали, что число 13*4^5 + 3*4^6 + 4^8 + 4^9 кратно 89.

Вывод:

Мы использовали метод математической индукции, чтобы доказать, что число 13*4^5 + 3*4^6 + 4^8 + 4^9 кратно 89. Каждое слагаемое в этой сумме кратно 89, поэтому их сумма также кратна 89.