Question

Докажите тождество Cos2x/1+cos2x=tgx/tg2x

Answer 1

$\frac{cos2x}{1+cos2x}=\frac{tgx}{tg2x}$

Преобразуем правую часть в левую:

$\frac{tgx}{tg2x}=\frac{sinx*cos2x}{cosx*sin2x}=\frac{sinx*cos2x}{cosx*2sinx*cosx}=\frac{cos2x}{2cos^{2}x}=\frac{cos2x}{1+cos2x}$

Использовались формулы:
1) $tgx= \frac{sinx}{cosx}$
2) $cos2x=2cos^{2}x-1$, из нее следует формула: $2cos^{2}x=1+cos2x$
3) $sin2x=2sinx*cosx$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, нам нужно применить основные тригонометрические тождества и преобразования.

Начнем с левой стороны тождества: cos(2x) / (1 + cos(2x))

Применение формулы двойного угла для cos(2x)

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Теперь заменим cos(2x) в нашем выражении:

(2cos^2(x) - 1) / (1 + 2cos^2(x) - 1)

Упрощаем выражение:

2cos^2(x) / (2cos^2(x))

Сокращение 2cos^2(x) в числителе и знаменателе

1 / 1

Теперь у нас есть левая сторона тождества равная 1.

Теперь рассмотрим правую сторону тождества: tan(x) / tan(2x)

Применение формулы тангенса в терминах синуса и косинуса

tan(x) = sin(x) / cos(x)

Заменим tan(x) и tan(2x) в нашем выражении:

(sin(x) / cos(x)) / (sin(2x) / cos(2x))

Теперь упростим это выражение, умножив дробь на обратную дробь:

(sin(x) / cos(x)) * (cos(2x) / sin(2x))

Применение формулы двойного угла для sin(2x) и cos(2x)

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Подставим эти значения в наше выражение:

(sin(x) / cos(x)) * ((cos^2(x) - sin^2(x)) / (2sin(x)cos(x)))

Теперь упростим это выражение, сократив sin(x) в числителе и знаменателе:

(1 / cos(x)) * ((cos^2(x) - sin^2(x)) / (2cos(x)))

Упрощение и преобразование выражения

Мы можем преобразовать cos^2(x) - sin^2(x) в разность квадратов:

((cos(x) + sin(x))(cos(x) - sin(x))) / (2cos(x))

Теперь мы видим, что у нас есть сокращение cos(x) в числителе и знаменателе:

(cos(x) + sin(x)) / 2

Теперь у нас есть правая сторона тождества равная (cos(x) + sin(x)) / 2.

Таким образом, мы доказали, что левая сторона тождества (cos(2x) / (1 + cos(2x))) равна правой стороне тождества (tan(x) / tan(2x)).