Question

Привести квадратичную форму к каноническому видуx₁² + 4x₂x₃ - x₂² - 2x₂x₃ + 4x₃² У меня совсем беда с этим )))Буду очень признательна.

Answer 1

$x_1^2+4x_2*x_3-x_2^2-2x_2*x_3+4x_3^2=(x_1^2+4x_1x_3+4x_3^2)-x_2^2-2x_2x_3=$

$=(x_1^2+4x_1x_3+4x_3^2)-x_2^2-2x_2x_3=(x_1+2x_3)^2-(x_2^2+2x_2x_3)=$

$=(x_1+2x_3)^2-(x_2^2+2x_2x_3+x_3^2-x_3^2)=(x_1+2x_3)^2-(x_2^2+2x_2x_3+x_3^2)+x_3^2=$

$=(x_1+2x_3)^2-(x_2+x_3)^2+x_3^2$

Answer 2

Квадратичная форма и ее канонический вид

Квадратичная форма - это выражение вида:

Q(x) = a₁₁x₁² + a₂₂x₂² + a₃₃x₃² + 2a₁₂x₁x₂ + 2a₁₃x₁x₃ + 2a₂₃x₂x₃

где a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₁₂, a₁₃, a₂₃ - коэффициенты, а x₁, x₂, x₃ - переменные.

Канонический вид квадратичной формы - это форма, в которой все кросс-произведения и квадраты переменных отсутствуют. Он может быть записан в следующем виде:

Q(x) = c₁₁y₁² + c₂₂y₂² + c₃₃y₃²

где c₁₁, c₂₂, c₃₃ - коэффициенты, а y₁, y₂, y₃ - новые переменные.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выделим квадратные члены и кросс-произведения в исходной квадратичной форме:

Q(x) = x₁² + 4x₂x₃ - x₂² - 2x₂x₃ + 4x₃²

2. Сгруппируем члены с одинаковыми переменными:

Q(x) = (x₁² - x₂²) + (4x₂x₃ - 2x₂x₃) + 4x₃²

3. Вынесем общие множители из каждой группы:

Q(x) = (x₁² - x₂²) + 2x₂x₃ + 4x₃²

4. Преобразуем группы в квадраты новых переменных:

Q(x) = (x₁ - x₂)(x₁ + x₂) + 2x₂x₃ + 4x₃²

5. Введем новые переменные:

y₁ = x₁ - x₂

y₂ = x₁ + x₂

y₃ = x₃

Теперь мы можем переписать исходную квадратичную форму в каноническом виде:

Q(x) = y₁² + 2y₂y₃ + 4y₃²

Таким образом, исходная квадратичная форма x₁² + 4x₂x₃ - x₂² - 2x₂x₃ + 4x₃² может быть приведена к каноническому виду y₁² + 2y₂y₃ + 4y₃².

Надеюсь, это поможет вам разобраться с приведением квадратичной формы к каноническому виду! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.