Question

Знайти, за яких значень a i b многочлен x^4+6x^3+3x^2+ax+b ділиться без остачі на многочлен x^2+4x+3. У відповідь записати суму a0+b0 знайдених значень a i b.

Answer 1

Знаешь, тут надо делить "углом", как простые числа делили в начальной школе. Смотри:
х⁴ + 6х³ + 3х² + ах + b | x² + 4x +3
x⁴ + 4x³ + 3x²                 x² +2
        2x³          +ax +b
        2x³          +8x +6
Чтобы  остаток  был =0, надо, чтобы а=8 и b = 6
Ответ:14

Answer 2

Щоб знайти значення a і b, за яких многочлен x^4 + 6x^3 + 3x^2 + ax + b ділиться без остачі на многочлен x^2 + 4x + 3, ми можемо використати алгоритм ділення многочленів. Цей алгоритм дозволяє нам знайти коефіцієнти дільника та остачі при діленні двох многочленів.

Алгоритм Ділення Многочленів

1. Переконайтеся, що многочлени впорядковані відповідно до степенів спадання. У нашому випадку ми маємо многочлен ділення x^4 + 6x^3 + 3x^2 + ax + b, і многочлен дільника x^2 + 4x + 3.

2. Розділіть перший коефіцієнт многочлена ділення на перший коефіцієнт многочлена дільника. У нашому випадку, перший коефіцієнт многочлена ділення є 1, а перший коефіцієнт многочлена дільника є 1. Отже, перший коефіцієнт дільника дорівнює 1.

3. Помножте дільник на перший коефіцієнт дільника і відніміть результат від многочлена ділення. Отримане значення є остачею після ділення першого коефіцієнта.

4. Повторіть кроки 2-3 для наступного коефіцієнта многочлена ділення, поки не дійдете до кінця многочлену.

У нашому випадку, ми маємо многочлен x^4 + 6x^3 + 3x^2 + ax + b, який ділиться без остачі на многочлен x^2 + 4x + 3. Давайте розглянемо кроки алгоритму ділення многочленів:

1. Першим кроком є поділ першого коефіцієнта многочлена ділення на перший коефіцієнт многочлена дільника. В нашому випадку, перший коефіцієнт многочлена ділення є 1, а перший коефіцієнт многочлена дільника є 1. Отже, перший коефіцієнт дільника дорівнює 1.

2. Далі, ми помножимо дільник на перший коефіцієнт дільника і віднімемо результат від многочлена ділення. Отримане значення буде остачею після ділення першого коефіцієнта. У нашому випадку, ми маємо:

(x^4 + 6x^3 + 3x^2 + ax + b) - (1 * (x^2 + 4x + 3))

Розкриваємо дужки і скорочуємо подібні члени:

x^4 + 6x^3 + 3x^2 + ax + b - x^2 - 4x - 3

Після спрощення отримуємо:

x^4 + 6x^3 + 2x^2 + (a - 4)x + (b - 3)

3. Цей процес повторюється для наступних коефіцієнтів многочлена ділення. Продовжуємо ділення отриманого многочлена x^4 + 6x^3 + 2x^2 + (a - 4)x + (b - 3) на многочлен x^2 + 4x + 3.

Повторюємо кроки 1-2 і отримуємо новий дільник і нову остачу.

4. Продовжуємо цей процес до кінця многочлена. На кожному кроці отримуємо новий дільник і нову остачу.

5. Коли доходимо до кінця многочлена, остача стає нулем. Це означає, що многочлен x^4 + 6x^3 + 3x^2 + ax + b ділиться без остачі на многочлен x^2 + 4x + 3.

6. Щоб знайти значення a і b, ми дивимося на останню остачу, яка дорівнює нулю. В нашому випадку, ми маємо:

x^4 + 6x^3 + 3x^2 + ax + b = (x^2 + 4x + 3) * (x^2 + 2x + (a - 4)) + (b - 3) = 0

Оскільки остання остача дорівнює нулю, ми можемо записати:

(b - 3) = 0

Звідси, ми отримуємо:

b = 3

Тепер, підставляючи b = 3, ми можемо знайти значення a:

x^2 + 2x + (a - 4) = 0

Заміщуємо b = 3:

x^2 + 2x + (a - 4) = 0

Оскільки цей квадратний многочлен має рівняння, а не нульову остачу, ми можемо використати дискримінант, щоб знайти значення a.

Дискримінант D = b^2 - 4ac

Підставляємо a = (a - 4), b = 2, c = 1:

D = 2^2 - 4(1)(a - 4)

Після спрощення отримуємо:

4 - 4(a - 4) = 0

4 - 4a + 16 = 0

20 - 4a = 0

4a = 20

a = 5

Таким чином, значення a = 5 і b = 3, за яких многочлен x^4 + 6x^3 + 3x^2 + ax + b ділиться без остачі на многочлен x^2 + 4x + 3.