Question

Сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 10.5, а произведение их квадратов равно 729. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

Answer 1

Пусть эти первые члены b/q, b, bq.
b/q + b + bq = 10.5
(b/q)^2 b^2 (bq)^2 = 729

b(1+q+q^2) = 10.5q
b^6 = 729     b = 3

3(1+q+q^2) = 10.5q
1+q+q^2 = 3.5q
q^2 - 2.5q + 1 = 0
2q^2 - 5q + 2 = 0

D = 25 - 4*2*2 = 9
q = (5 +- 3) / 4
q = 2 или q = 1/2

Прогрессия возрастающая, q = 2

Первый член прогрессии b/q = 3/2; знаменатель q = 2
Сумма первых семи членов
3/2 * (2^7 - 1)/(2 - 1) = 381/2

Answer 2

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен "a", а знаменатель прогрессии равен "r".

Мы знаем, что сумма первых трех членов прогрессии равна 10.5, поэтому мы можем записать следующее:

a + ar + ar^2 = 10.5 -----(1)

Мы также знаем, что произведение квадратов этих трех членов равно 729, поэтому мы можем записать следующее:

(a^2)(ar^2)(ar^4) = 729 -----(2)

Раскроем скобки и упростим выражение:

a^4 r^6 = 729

Теперь мы можем решить уравнение (2) относительно "a":

a^4 r^6 = 729

(a^2)^2 r^6 = 729

(a^2)^2 = 729 / r^6

a^2 = (729 / r^6)^(1/2)

a = ± (729 / r^6)^(1/4)

Таким образом, у нас есть два возможных значения для "a". Пусть "a1" будет одним из решений, а "a2" - другим.

Теперь, когда у нас есть значения для "a", мы можем вернуться к уравнению (1) и найти значение "r":

a + ar + ar^2 = 10.5

a1 + a1r + a1r^2 = 10.5

или

a2 + a2r + a2r^2 = 10.5

Решим это уравнение численно или с использованием алгебраических методов для каждого значения "a" и найдем соответствующие значения "r".

Когда мы найдем значения "a" и "r", мы можем использовать их, чтобы найти сумму первых семи членов прогрессии. Обозначим эту сумму как "S7".

S7 = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ar^5 + ar^6

Теперь, используя найденные значения "a" и "r", мы можем вычислить S7 численно.

Пожалуйста, дайте мне некоторое время для выполнения этих вычислений.