Question

Найдите экстрэмумы функции у=х^3-3×19х

Answer 1

Для нахождения максимума/минимума функции нужно лишь взять ее производную и прировнять ее к нулю:
у=х^3-3×19х
y'=3x^2-3*19=0 ⇒ x^2=19 ⇒ x=_+√19
Таким образом x=√19 - точка минимума; х=-√19 - точка максимума 
y(√19)=19√19-3*19√19=-38√19
y(-√19)=-19√19-3*(-19√19)=38√19
Ответ: y=-38√19 - min; y=38√19 - max

Answer 2

Для того чтобы найти экстремумы функции \( y = x^3 - 3 \times 19x \), мы можем воспользоваться методом дифференцирования. Экстремумы функции соответствуют точкам, где её производная равна нулю (минимумы - локальные минимумы и глобальные минимумы, максимумы - локальные максимумы и глобальные максимумы).

Нахождение производной функции

Для начала найдём производную функции \( y = x^3 - 3 \times 19x \). Производная функции позволит нам найти точки, в которых функция имеет экстремумы.

\[ y' = \frac{d}{dx} (x^3 - 3 \times 19x) \]

Производная по степенному закону дифференцирования: \( (x^n)' = n \times x^{n-1} \), а также \( (cf(x))' = c \times f'(x) \), где \( n \) - степень, \( c \) - константа.

Применяя эти правила, получаем:

\[ y' = 3x^2 - 3 \times 19 \]

Нахождение точек экстремума

Теперь найдём точки, в которых производная равна нулю, так как в этих точках функция может иметь экстремумы.

\[ 3x^2 - 3 \times 19 = 0 \] \[ 3x^2 = 3 \times 19 \] \[ x^2 = 19 \] \[ x = \pm \sqrt{19} \]

Определение типа экстремума

Чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом, минимумом или максимумом, можно воспользоваться второй производной тестом. Для этого найдём вторую производную функции:

\[ y'' = \frac{d^2}{dx^2} (3x^2 - 3 \times 19) = 6x \]

Теперь подставим найденные значения \( x \) во вторую производную:

\[ y''(\sqrt{19}) = 6 \times \sqrt{19} > 0 \] \[ y''(-\sqrt{19}) = -6 \times \sqrt{19} < 0 \]

Из знака второй производной следует, что \( x = \sqrt{19} \) является точкой локального минимума, а \( x = -\sqrt{19} \) - локального максимума.

Вывод

Таким образом, функция \( y = x^3 - 3 \times 19x \) имеет локальный минимум в точке \( x = \sqrt{19} \) и локальный максимум в точке \( x = -\sqrt{19} \).