Question

Помогите сделать самостоятельную : 7.1. Вася и Толя обменялись значками. До обмена у Васи было на 5 значков больше, чем у Толи. После того, как Вася обменял 24% своих значков на 20% значков Толи, у Васи стало на один значок меньше, чем у Толи. Сколько значков было у мальчиков до об-мена? 7.2. Существуют ли дробные (нецелые) числа x, y такие, что оба числа и целые? 7.3. Найдется ли среди первых 500 натуральных чисел 1, 2, …, 500 серия, состоящая из подряд идущих а) девяти составных чисел; б) одиннадцати составных чисел? 7.4. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и N соответственно. Оказа-лось, что периметр  AMC равен периметру  CNA, а периметр  ANB равен пери-метру  CMB. Докажите, что  ABC равнобедренный.

Answer 1

7.1 Вася и Толя обменялись значками. До обмена у Васи было на 5 значков больше, чем у Толи. По- сле того, как Вася обменял 24% своих значков на 20% значков Толи, у Васи стало на один зна- чок меньше, чем у Толи. Сколько значков было у мальчиков до обмена? Ответ. У Толи было 45 значков, у Васи – 50 значков. Решение. Пусть до обмена у Толи было x значков, тогда у Васи было (x + 5) значков. После обмена у Толи стало   25 6 5 5   x   x x , а у Васи   25 5 6 5 5 x x   x    . Решая уравнение     1, 25 5 6 5 5 25 6 5 5            x x x x x x находим x = 45. 7.2. Существуют ли дробные (нецелые) числа x, y такие, что оба числа 13x  4y и 10x  3y целые? Ответ. Не существуют. Решение. Пусть 13x + 4y = m, 10x + 3y = n, где m и n – целые. Решим эту систему уравнений, домножив первое уравнение на 3, а второе – на 4. Вычитая уравнения, получим x = – 3m +4n, т.е. x – целое число. 7.3. Найдется ли среди первых 500 натуральных чисел 1, 2, …, 500 серия, состоящая из подряд иду- щих а) девяти составных чисел; б) одиннадцати составных чисел? Ответ: а) да; б) да. Решение. Можно привести искомую серию из 11 составных чисел: 200, 201, …, 210. Объясним сначала, как найти подобную серию из 9 составных чисел. Есть 4 простых числа меньше 10: это 2, 3, 5, 7. Их произведение равно 210. Поэтому при любом целом k каждая из двух серий 210k  2,210k  3,...,210k 10 и 10 210k  2, 210k  3,...,210k  состоит из 9 составных чисел. Это отвечает на вопрос пункта а) при k = 1 или 2. Если заметить, что 20911, то получим ответ на вопрос б). 7.4. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и N соответственно. Оказалось, что пе- риметр  AMC равен периметру  CNA, а периметр  ANB равен периметру  CMB. Докажите, что  ABC равнобедренный. Решение. Будем обозначать периметр буквой P. Из условия задачи имеем P(AMC) + P(CMB) = P(CNA) + P(ANB). Отсюда P(ABC) + 2  CM = P(ABC) + 2  AN. Значит CM = AN. Из этого соотношения, учитывая равенство периметров треугольников AMC и CAN, получим, что AM = NC. Поэтому тре- угольники AMC и CAN равны по трем сторонам. Тогда A = C, значит, ABC равнобедренный. 

Answer 2

7.1. Решение задачи о значках у Васи и Толи:

Давайте начнем с того, что у Васи было на 5 значков больше, чем у Толи до обмена. Пусть у Толи было x значков, тогда у Васи было x + 5 значков.

После обмена Вася обменял 24% своих значков на 20% значков Толи. После этого у Васи стало на один значок меньше, чем у Толи.

Давайте обозначим количество значков, которые обменял Вася, как у. Тогда у Васи осталось 0.76x значков (так как он обменял 24% значков) и у Толи осталось 0.8(x + 5) значков (так как он получил 20% от значков Васи).

Учитывая, что у Васи стало на один значок меньше, чем у Толи, мы можем записать уравнение: 0.76x = 0.8(x + 5) - 1

Решив это уравнение, мы найдем значение x, которое позволит нам найти количество значков у Васи и Толи до обмена.

7.2. Существуют ли дробные (нецелые) числа x, y такие, что оба числа и целые?

Да, существуют дробные числа x и y, такие, что оба числа и целые. Например, число 2.5 является дробным числом, но при этом и целым, так как оно равно 2.5/1.

7.3. Найдется ли среди первых 500 натуральных чисел 1, 2, …, 500 серия, состоящая из подряд идущих а) девяти составных чисел; б) одиннадцати составных чисел?

Да, среди первых 500 натуральных чисел найдутся серии, состоящие из подряд идущих девяти и одиннадцати составных чисел. Составные числа - это числа, которые имеют более двух делителей. Для нахождения таких серий можно использовать метод перебора или алгоритмы поиска последовательностей составных чисел.

7.4. Доказательство равнобедренности треугольника ABC:

Для доказательства равнобедренности треугольника ABC, где на сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и N соответственно, и периметр треугольника AMC равен периметру треугольника CNA, а периметр треугольника ANB равен периметру треугольника CMB, можно воспользоваться свойством равнобедренных треугольников.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, биссектриса угла, противолежащего равным сторонам, делит этот угол на два равных угла. Таким образом, можно доказать, что треугольник ABC является равнобедренным.

Для более подробного доказательства можно использовать геометрические построения и свойства равнобедренных треугольников.

Обратите внимание: Для более точного решения задачи о значках у Васи и Толи, необходимо решить уравнение и найти точные значения количества знач