Question

Теңсіздікті шешіңіз 5cosx+cos2x+3 ≥ 0

Answer 1

$5cosx+cos2x+3\geq0\\5cosx+2cos^2x-1+3\geq0\\2cos^2x+5cosx+2\geq0\\\\cosx=t\in[-1;\ 1]\\\\2t^2+5t+2\geq0\\\Delta_t=5^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9;\ \sqrt{\Delta_t}=\sqrt9=3\\\\t_1=\frac{-5-3}{2\cdot2}=\frac{-8}{4}=-2;\ t_2=\frac{-5+3}{2\cdot2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\\\\\ [t\in(-\infty;-2]\ \cup\ [-\frac{1}{2};\ \infty)]\ \cap\ [-1;\ 1]=[-\frac{1}{2};\ 1]$

$-\frac{1}{2}\leq cosx\leq1\\\\cosx\geq-\frac{1}{2}\ \wedge\ cosx\leq1\\\\O:x\in[-\frac{2\pi}{3}+2k\pi;\ \frac{2\pi}{3}+2k\pi];\ k\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Енгізуімізді шешу үшін, біз қадамдық шешімді қолданамыз:

1. 5cosx + cos2x + 3 ≥ 0

Біз 2x орындалғанда, бізге қажетті теңдеулерді қосу қажет болады:

2. 5cosx + 2cos^2x - 1 + 3 ≥ 0

Сол үшін, бізге квадратты теңдеуді қолдану қажет болады:

3. 2cos^2x + 5cosx + 2 ≥ 0

Квадратты теңдеуді шешу үшін, бізге квадратты теңдеуді шешу үшін квадратты теңдеуді қолдану қажет болады:

4. (2cosx + 1)(cosx + 2) ≥ 0

Квадратты теңдеуді шешу үшін, бізге квадратты теңдеуді шешу үшін бұрышты теңдеулерді қосу қажет болады:

5. (2cosx + 1 ≥ 0) және (cosx + 2 ≥ 0)

Екі теңдеуді шешу үшін, бізге квадратты теңдеуді шешу үшін теңдеулерді шешу қажет болады:

6. (cosx ≥ -1/2) және (cosx ≥ -2)

Енді біз бірінші теңдеуді шешеміз: cosx ≥ -1/2 Бұл теңдеулерге сай қарағанда, бізге -π / 3 ≤ x ≤ 2π / 3 аралығындағы x мәндерін алу керек.

Екінші теңдеуді шешеміз: cosx ≥ -2 Бұл теңдеулерге сай қарағанда, бізге -π ≤ x ≤ π аралығындағы x мәндерін алу керек.

Сонымен қатар, қауіпсіздікті шешіміз: -π ≤ x ≤ π -π / 3 ≤ x ≤ 2π / 3