Question

Найти n-ую производную y=1/1+2x

Answer 1

Решение на приложенном фото.

Answer 2

Для нахождения n-ой производной функции y = 1/(1 + 2x), мы можем использовать формулу производной степенной функции, а также правило производной частного функций.

Первая производная:

Для начала, найдем первую производную функции y = 1/(1 + 2x). Для этого мы применим правило производной частного функций:

dy/dx = (d(u)/dx * v - u * d(v)/dx) / v^2

где u = 1, v = 1 + 2x.

Подставляем значения и упрощаем:

u = 1 v = 1 + 2x

dy/dx = (0 * (1 + 2x) - 1 * 2) / (1 + 2x)^2

dy/dx = -2 / (1 + 2x)^2

Вторая производная:

Теперь найдем вторую производную функции y = 1/(1 + 2x). Мы применим ту же формулу производной частного функций, но с использованием первой производной, которую мы уже нашли:

d^2y/dx^2 = (d(u)/dx * v - u * d(v)/dx) / v^2

где u = -2, v = (1 + 2x)^2.

Подставляем значения и упрощаем:

u = -2 v = (1 + 2x)^2

d^2y/dx^2 = (0 * (1 + 2x)^2 - (-2) * 2 * (1 + 2x) * 2) / (1 + 2x)^4

d^2y/dx^2 = 4 / (1 + 2x)^3

Общая формула для n-ой производной:

Мы можем продолжать применять ту же формулу производной частного функций для нахождения n-ой производной функции y = 1/(1 + 2x). Общая формула будет выглядеть следующим образом:

d^n(y)/dx^n = (d(u)/dx * v - u * d(v)/dx) / v^2

где u = предыдущая производная, v = (1 + 2x)^(n+1).

Мы можем продолжать применять эту формулу для нахождения производных высших порядков. Например, третья производная будет:

d^3y/dx^3 = (d^2y/dx^2 * v - d(d^2y/dx^2)/dx * d(v)/dx) / v^2

Примеры:

Давайте посмотрим на несколько примеров конкретных производных для функции y = 1/(1 + 2x):

- Первая производная (n = 1): dy/dx = -2 / (1 + 2x)^2 - Вторая производная (n = 2): d^2y/dx^2 = 4 / (1 + 2x)^3 - Третья производная (n = 3): d^3y/dx^3 = -24 / (1 + 2x)^4

Мы можем продолжать находить производные для более высоких порядков, используя общую формулу, которую я упомянул ранее.

Пожалуйста, обратите внимание, что все указанные производные имеют отрицательные значения. Это связано с тем, что функция y = 1/(1 + 2x) убывает по мере увеличения x.