Question

Докажите, что

Answer 1

$\dfrac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}} \geqslant2$


Пусть $\sqrt{a^2+1}=t$ , тогда $a^2+1=t^2$ .


Заменим в исходном неравенстве введённые переменные:
$\dfrac{t^2+1}{t} \geqslant2 \\ \\ \dfrac{t^2-2t+1}{t} \geqslant0 \\ \\ \dfrac{(t-1)^2}{t} \geqslant 0$

Мы получили неравенство, верное при всех значениях $t$ , потому что в числителе — квадрат (всегда неотрицательный), а в знаменателе  $t$ — квадратный арифметический корень (также неотрицателен).

Answer 2

$\dfrac{a^2+2}{ \sqrt{a^2+1} } \geq 2$

ОДЗ:
$a^2+1 \geq 0 \\ a^2 \geq -1$
верно для любого a. 

Ограничений нет, а значит руки у нас развязаны. Домножим все неравенство на $\sqrt{a^2+1}$. 
$a^2+2 \geq 2 \sqrt{a^2+1} \\ a^4+4a^2+4 \geq 4a^2+4 \\ a^4 \geq 0$
верно для любого a

Все, доказали.

Answer 3

It looks like there might be some confusion in your request. Could you please provide more specific details or clarify your question? I'd be happy to help once I understand what you're looking for.