Question

Известно, что sint-cost=1/3. Вычислите 9sint cost.

Answer 1

$sint-cost=\frac{1}{3}\\\\(sint-cost)^2=(sin^2t+cos^2t)-2sintcost=1-2sintcost\; \Rightarrow \\\\1-2sintcost=\frac{1}{3}\\\\sintcost=\frac{\frac{1}{3}-1}{-2}=\frac{\frac{-2}{3}}{-2}=\frac{1}{3}$

$9sintcost=\frac{9}{3}=3$

Answer 2

Для начала решим уравнение sint - cost = 1/3.

Для этого воспользуемся тригонометрической подстановкой, например, заменим sin t = x, а cos t = y.

Тогда уравнение примет вид: x - y = 1/3

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin^2 t + cos^2 t = 1, чтобы выразить y через x: y = √(1 - x^2)

Теперь подставим y в уравнение: x - √(1 - x^2) = 1/3

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: (x - √(1 - x^2))^2 = (1/3)^2 x^2 - 2x√(1 - x^2) + (1 - x^2) = 1/9 x^2 - 2x√(1 - x^2) + (1 - x^2) - 1/9 = 0 9x^2 - 18x√(1 - x^2) + 9(1 - x^2) - 1 = 0 9x^2 - 18x√(1 - x^2) + 9 - 9x^2 - 1 = 0 -18x√(1 - x^2) + 8 = 0 -18x√(1 - x^2) = -8 18x√(1 - x^2) = 8 √(1 - x^2) = 8/18 √(1 - x^2) = 4/9 1 - x^2 = (4/9)^2 1 - x^2 = 16/81 x^2 = 1 - 16/81 x^2 = 81/81 - 16/81 x^2 = 65/81 x = ±√(65/81) x = ±√65/9

Теперь, когда мы нашли значение x, мы можем найти значение y: y = √(1 - x^2) y = √(1 - (65/81)) y = √(16/81) y = 4/9

Теперь у нас есть значения x и y. Мы можем найти значение 9sint + cost: 9sint + cost = 9x + y 9(±√65/9) + 4/9 ±3√65 + 4/9

Таким образом, значение 9sint + cost равно ±3√65 + 4/9.