Question

1)Решить неравенство 4/ Ix+1I - 2 >= I x -1 I 2)Решить неравенство I x-4 I - I x-1 I/ I x-3 I - I x-2 I < I x-3 I + I x-2I/ I x-4I I - модуль

Answer 1

при х<-1 выражение примет вид 

4/( -x-1) - 2 >= - x +1

при -1<х<1 выражение примет вид 

4/( x+1) - 2 >= - x +1

при х>=1 выражение примет вид 

4/( x+1) - 2 >= x - 1

4/( -x-1) - 2 >= - x +1 <=> 4 - 2(-x-1)>=(-x+1)(-x-1)  <=>4+2x+2>=x^2-1 <=> x^2-2x-7<=0

D=8  1-(корень из 8 ) <= x <= 1+(корень из 8)  но т.к. x<-1 то 1-(корень из 8 ) <= x < -1

4/( x+1) - 2 >= - x +1 <=>4-2x-2>= - x^2+1 <=>x^2-2x+1>=0 <=> (x-1)^2>=0  при всех х  , но мы рассматриваем   -1<х<1  

4/( x+1) - 2 >= x - 1 <=>4-2х-2>=x^2-1<=>x^2+2x-3<=0

D=4+12=4^2     (-2-4)/2<=x<=(-2+4)/2     -3<=x<=1 но т к мы рассматриваем при х>=1 то х=1

ответ 1-(корень из 8 ) <= x < -1

-1<х<=1  

 

 

 

Answer 2

Решение неравенства 1

Для решения неравенства 4/|x+1| - 2 >= |x-1|, мы можем разбить его на несколько случаев, в зависимости от знака выражений в модулях.

1. Когда x+1 >= 0 и x-1 >= 0: В этом случае неравенство принимает вид 4/(x+1) - 2 >= x-1. Решим это неравенство: 4/(x+1) - 2 >= x-1 4 - 2(x+1) >= (x-1)(x+1) 4 - 2x - 2 >= x^2 - 1 -2x + 2 >= x^2 - 1 x^2 + 2x - 3 <= 0 (x+3)(x-1) <= 0 Решив это квадратное неравенство, получим: -3 <= x <= 1

2. Когда x+1 >= 0 и x-1 < 0: В этом случае неравенство принимает вид 4/(x+1) - 2 >= -(x-1). Решим это неравенство: 4/(x+1) - 2 >= -(x-1) 4 - 2(x+1) >= -(x-1)(x+1) 4 - 2x - 2 >= -(x^2 - 1) -2x + 2 >= -x^2 + 1 x^2 - 2x + 1 >= 0 (x-1)^2 >= 0 Решив это квадратное неравенство, получим: x = 1

3. Когда x+1 < 0 и x-1 >= 0: В этом случае неравенство принимает вид 4/-(x+1) - 2 >= x-1. Решим это неравенство: 4/-(x+1) - 2 >= x-1 -4 - 2(x+1) >= (x-1)(x+1) -4 - 2x - 2 >= x^2 - 1 -2x - 6 >= x^2 - 1 x^2 + 2x - 5 <= 0 (x+1)(x-5) <= 0 Решив это квадратное неравенство, получим: -1 <= x <= 5

4. Когда x+1 < 0 и x-1 < 0: В этом случае неравенство принимает вид 4/-(x+1) - 2 >= -(x-1). Решим это неравенство: 4/-(x+1) - 2 >= -(x-1) -4 - 2(x+1) >= -(x-1)(x+1) -4 - 2x - 2 >= -(x^2 - 1) -2x - 6 >= -x^2 + 1 x^2 + 2x - 5 <= 0 (x+1)(x-5) <= 0 Решив это квадратное неравенство, получим: -1 <= x <= 5

Таким образом, решением неравенства 4/|x+1| - 2 >= |x-1| является объединение интервалов -3 <= x <= 1 и -1 <= x <= 5.

Решение неравенства 2

Для решения неравенства |x-4| - |x-1| / |x-3| - |x-2| < |x-3| + |x-2| / |x-4|, мы также разобьем его на несколько случаев, в зависимости от знака выражений в модулях.

1. Когда x-4 >= 0, x-1 >= 0, x-3 >= 0 и x-2 >= 0: В этом случае неравенство принимает вид (x-4) - (x-1) / (x-3) - (x-2) < (x-3) + (x-2) / (x-4). Решим это неравенство: (x-4) - (x-1) < (x-3) + (x-2) x - 4 - x + 1 < x - 3 + x - 2 -3 < -5 Это неравенство не имеет решений.

2. Когда x-4 >= 0, x-1 >= 0, x-3 < 0 и x-2 >= 0: В этом случае неравенство принимает вид (x-4) - (x-1) / -(x-3) - (x-2) < -(x-3) + (x-2) / (x-4). Решим это неравенство: (x-4) - (x-1) < -(x-3) + (x-2) x - 4 - x + 1 < -x + 3 + x - 2 -3 < -3 Это неравенство не имеет решений.

3. Когда x-4 >= 0, x-1 < 0, x-3 >= 0 и x-2 >= 0: В этом случае неравенство принимает вид (x-4) - -(x-1) / (x-3) - (x-2) < (x-3) + (x-2) / (x-4). Решим это неравенство: (x-4) + (x-1) < (x-3) + (x-2) x - 4 + x - 1 < x - 3 + x - 2 2x - 5 < 2x - 5 Это неравенство не имеет решений.

4. Когда x-4 >= 0, x-1 < 0, x-3 < 0 и x-2 >= 0: В этом случае неравенство принимает вид (x-4) - -(x-1) / -(x-3) - (x-2) < -(x-3) + (x-2) / (x-4). Решим это неравенство: (x-4) + (x-1) < -x + 3 + x - 2 x - 4 + x - 1 < 1 2x - 5 < 1 2x < 6 x < 3

5. Когда x-4 < 0, x-1 >= 0, x-3 >= 0 и x-2 >= 0: В этом случае неравенство принимает вид -(x-4) - (x-1) / (x-3) - (x-2) < (x-3) + (x-2) / -(x-4). Решим это неравенство: -(x-4) - (x-1) < (x-3) + (x-2) -x + 4 - x + 1 < x - 3 + x - 2 -2x + 5 < -5 -2x < -10 x > 5

6. Когда x-4 < 0, x-1 >= 0, x-3 < 0 и x-2 >= 0: В этом случае неравенство принимает вид -(x-4) - (x-1) / -(x-3) - (x-2) < -(x-3) + (x-2) / -(x-4). Решим это неравенство: -(x-4) - (x-1) < -x + 3 + x - 2 -x + 4 - x + 1 < 1 -2x + 5 < 1 -2x < -4 x > 2

7. Ког