Question

Решить совокупность неравенств: Совокупность 2х-5 меньше или равно х+1 х2-9х+14 меньше 0

Answer 1

{2x-5≤x+1⇒2x-x≤1+5⇒x≤6
{x²-9x+14<0⇒2<x<7
x1+x2=9 U x1*x2=14⇒x1=2 U x2=7
Ответ x∈(2;6]

Answer 2

Для решения данной системы неравенств необходимо найти интервалы значений переменной x, при которых все неравенства будут выполняться одновременно. Давайте разберемся по порядку.

Неравенство 1: 2x - 5 ≤ x + 1

Для начала решим это неравенство: 2x - 5 ≤ x + 1

Вычтем x из обеих сторон: x - 5 ≤ 1

Теперь прибавим 5 к обеим сторонам: x ≤ 6

Неравенство 2: x^2 - 9x + 14 < 0

Теперь рассмотрим второе неравенство: x^2 - 9x + 14 < 0

Для решения этого квадратного неравенства, найдем его корни (места пересечения графика с осью x) с помощью квадратного уравнения: x^2 - 9x + 14 = 0

Корни этого уравнения можно найти с помощью дискриминанта: D = b^2 - 4ac D = (-9)^2 - 4*1*14 D = 81 - 56 D = 25

Так как дискриминант положительный, у уравнения два действительных корня. Решим уравнение: x1,2 = (-b ± √D) / (2a) x1,2 = (9 ± 5) / 2 x1 = (9 + 5) / 2 = 7 x2 = (9 - 5) / 2 = 2

Теперь мы знаем, что уравнение x^2 - 9x + 14 = 0 имеет корни x1 = 7 и x2 = 2. Также известно, что это уравнение имеет вершину параболы, которая находится посередине между корнями (по формуле x = -b / (2a)). Так как a = 1, b = -9, то x = 9 / 2 = 4.5.

Теперь определим интервалы, на которых неравенство выполняется. Для этого построим знаки интервалов на числовой прямой, используя найденные корни и вершину параболы:

``` ---o-----o------o--- 2 4.5 7 ``` Теперь выберем тестовую точку из каждого интервала и подставим их в неравенство x^2 - 9x + 14 < 0, чтобы определить знак выражения в каждом интервале: 1. При x = 0: 14 > 0 (знак "+") 2. При x = 3: 3^2 - 9*3 + 14 = 9 - 27 + 14 = -4 < 0 (знак "-") 3. При x = 6: 6^2 - 9*6 + 14 = 36 - 54 + 14 = -4 < 0 (знак "-") 4. При x = 8: 8^2 - 9*8 + 14 = 64 - 72 + 14 = 6 > 0 (знак "+")

Таким образом, неравенство x^2 - 9x + 14 < 0 выполняется на интервалах (2; 4.5) и (4.5; 7).

Окончательное решение:

Совокупность решений исходной системы неравенств: 2x - 5 ≤ x + 1 и x^2 - 9x + 14 < 0 выражается в виде: x ≤ 6 и (2 < x < 4.5) или (4.5 <