Question

Решить систему в рациональных числах. x^4+y^4+z^4+m^4=4*x*y*z*m+2z-1 cos(x^5+y^5-z^5-m^5)=2z+sin^2(x+y+z-3*m)

Answer 1

Довольно все искусственно выглядит , попробуем так 
$x^4+y^4+z^4+m^4=4xyzm+2z-1\\ cos(x^5+y^5-z^5-m^5)=2z+sin^2(x+y+z-3m)$  
заметим неравенство           
$\frac{x^4+y^4+z^4+m^4}{4} \geq \sqrt[4]{x^4m^4y^4z^4 } = xyzm$ 
то есть $x^4+y^4+z^4+m^4 \geq 4yzm$ 
последнее выполняется когда $x=y=z=m$        
предположим что числа все разные , для  не потери общности 
$x >y > z>m$
пусть $x^5+y^5-z^5-m^5=a\\ x+y+z-3m=b\\ z=\frac{cosa-sin^2b}{2}$ 
отсюда следует что, после анализа  на экстремум получим $f_{min} = -1$ $f_{max}=\frac{1}{2}$
$-1 \leq z \leq \frac{1}{2}$ 
но с учетом первого равенство , получим что нет таких чисел что выполнялось бы равенство , значит $x=y=z=m\\ 4x^4=4x^4+2x-1\\ x=\frac{1}{2}$
$x=m=z=y=\frac{1}{2}$