Question

64*sin(x)*cos(4x)*cos(8x)*Cos(16x)*cos(32x)*cos(x)=1

Answer 1

64*sin(x)*cos(4x)*cos(8x)*Cos(16x)*cos(32x)*cos(x)=1
64*sin(x)*sin(4x)*cos(4x)*cos(8x)*Cos(16x)*cos(32x)*cos(x)=sin(4x)(добавили лишние корни sin(4x)=0)
32*sin(x)*sin(8x)*cos(8x)*Cos(16x)*cos(32x)*cos(x)=sin(4x)
16*sin(x)*sin(16x)*Cos(16x)*cos(32x)*cos(x)=sin(4x)
8*sin(x)*sin(32x)*cos(32x)*cos(x)=sin(4x)
4*sin(x)*sin(64x)*cos(x)=sin(4x)

2*sin(2x)*sin(64x)=2*sin(2x)cos(2x)
sin(64x)-cos(2x)=0 или sin(2x)=0

sin(64x)-sin(пи/2 - 2x)=0 или sin(2x)=0

2sin((64x-пи/2 + 2x)/2)*cos((64x+пи/2 - 2x)/2)=0 или sin(2x)=0

sin(33x-пи/4)=0 или cos(31x+пи/4)=0 или sin(2x)=0
из полученных уранений надо получить 3 группы решений и все решения проверить подстановкой в исходное уравнение

Answer 2

найдём производные
f'(x) = (sin(4x))' - (cos(2x))' = 4cos(4x) + 2sin(2x)

g'(x) = (cos^2(2x))'= 2cos(2x) * (-sin(2x))*2 = -2sin(4x)

y'(x) = -sin(x)/(1-cos(x)) - (1+cos(x))*sin(x)/(1-cos(x))^2 =
= -sin(x)/(1-cos(x))^2 * (1 - cos(x) + 1 + cos(x)) = -2sin(x)/(1-cos(x))^2

y''(x) = -2cos(x)/(1-cos(x)^2 -2sin(x) * sin(x) * (-2)/(1-cos(x))^3 =
= (-2cos(x)*(1-cos(x) + 4sin^2(x))/(1-cos(x))^3 = 2(2+cos(x))/(1-cos(x))^2
корень - sqrt
y''(pi/4) = 2*(2 + sqrt(2)/2)/(1 - sqrt(2)/2)^2 = (4 + sqrt(2))/(1 + 1/2 - sqrt(2)) =
= (4 + sqrt(2)) / (3/2 - sqrt(2)) = (4 + sqrt(2))*(1.5 + sqrt(2)) / (2.25 - 2) =
= (6 + 1.5sqrt(2) + 4sqrt(2) + 2)/ 0.25 = 32 + 22sqrt(2)

Answer 3

Для начала, рассмотрим выражение 64*sin(x)*cos(4x)*cos(8x)*cos(16x)*cos(32x)*cos(x). Обратим внимание, что здесь есть произведение нескольких косинусов и одной синуса.

Разложим каждое из произведений cos(kx)*cos(mx) в сумму двух функций:

cos(kx)*cos(mx) = 1/2 * (cos((k-m)x) + cos((k+m)x))

Применим это разложение для каждого из произведений cos(kx)*cos(mx) в исходном выражении:

64 * sin(x) * cos(4x) * cos(8x) * cos(16x) * cos(32x) * cos(x) = = 1/2 * (cos(31x) + cos(33x)) * 1/2 * (cos(24x) + cos(40x)) * 1/2 * (cos(16x) + cos(48x)) * 1/2 * (cos(8x) + cos(56x)) * 1/2 * (cos(4x) + cos(60x)) * sin(x) = = 1/32 * (cos(31x) + cos(33x)) * (cos(24x) + cos(40x)) * (cos(16x) + cos(48x)) * (cos(8x) + cos(56x)) * (cos(4x) + cos(60x)) * 2*sin(x)

Заметим также, что произведение (cos(16x) + cos(48x)) * (cos(8x) + cos(56x)) не содержит переменной x с синусом или косинусом. Поэтому, это произведение может быть заменено на константу.

Таким образом, наше уравнение принимает вид:

1/32 * (cos(31x) + cos(33x)) * (cos(24x) + cos(40x)) * const * (cos(4x) + cos(60x)) * 2*sin(x) = 1

где const - константа, равная (cos(16x) + cos(48x)) * (cos(8x) + cos(56x)).

Теперь, если мы перемножим все скобки в левой части уравнения, то получим произведение косинусов, которое можно рассмотреть отдельно и найти его корни. Найдя эти корни, можно подставить их в уравнение и найти соответствующие значения x.

Таким образом, методы решения данного уравнения будут связаны с решением тригонометрического уравнения, которое выше описано в общем виде.