Question

Найти частное решение дифф уравнения первого порядка. dy/x^2=dx/y^2 y(0)=2

Answer 1

Dy/x^2 = dx/y^2
y^2 dy = x^2 dx
y^3/3 = x^3/3 + C
y^3 = x^3 + C
y = ∛(x^3 + C) - общее решение

y(0) = 2
2 = ∛(0^3 + C)
2 = ∛C
C = 8

частное решение 
y = ∛(x^3 + 8)

Answer 2

Давайте решим дифференциальное уравнение первого порядка \( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y^2} \) с начальным условием \( y(0) = 2 \).

Для начала, давайте перепишем уравнение в виде:

\[ y^2 \, dy = x^2 \, dx \]

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

\[ \int y^2 \, dy = \int x^2 \, dx \]

\[ \frac{y^3}{3} = \frac{x^3}{3} + C \]

где \( C \) - постоянная интегрирования. Теперь учтем начальное условие \( y(0) = 2 \):

\[ \frac{2^3}{3} = \frac{0^3}{3} + C \]

\[ \frac{8}{3} = C \]

Таким образом, у нас есть частное решение дифференциального уравнения:

\[ \frac{y^3}{3} = \frac{x^3}{3} + \frac{8}{3} \]

Или, упрощенно:

\[ y^3 = x^3 + 8 \]

Это уравнение определяет частное решение вашего дифференциального уравнения с заданным начальным условием.