Question

Найти производную... y=sin3x * arctg2x

Answer 1

$y`=3cos3xarctg2x+2sin3x/(1+4x^2)$

Answer 2

Конечно, найдем производную функции \(y = \sin(3x) \cdot \arctan(2x)\) с помощью правил дифференцирования.

Для начала, у нас есть произведение двух функций: \(\sin(3x)\) и \(\arctan(2x)\). Нам понадобится применить правило производной произведения функций (производная произведения функций \(uv'\)) и правило дифференцирования сложной функции.

1. Начнем с вычисления производной \(\sin(3x)\): \(\frac{d}{dx}[\sin(3x)] = 3 \cdot \cos(3x)\) (производная \(\sin(ax) = a \cdot \cos(ax)\))

2. Теперь найдем производную \(\arctan(2x)\): \(\frac{d}{dx}[\arctan(2x)] = \frac{1}{1 + (2x)^2} \cdot 2 = \frac{2}{1 + 4x^2}\) (производная \(\arctan(ax) = \frac{a}{1 + (ax)^2}\))

3. Теперь применим правило производной произведения функций: \(\frac{d}{dx}[u \cdot v] = u' \cdot v + u \cdot v'\)

\(y = \sin(3x) \cdot \arctan(2x)\) \(y' = (3 \cdot \cos(3x)) \cdot \arctan(2x) + \sin(3x) \cdot \frac{2}{1 + 4x^2}\)

Это и есть производная исходной функции \(y = \sin(3x) \cdot \arctan(2x)\): \[y' = 3 \cos(3x) \arctan(2x) + \frac{2 \sin(3x)}{1 + 4x^2}\]