Question

Представив 3х в в виде х+2х,докажите тождество сos3x=4cos^3x-3cosx

Answer 1

cos 3x = cos (x+2x) =cos (x) *cos (2x) - sin(x) *sin (2x)=cos(x) * (cos^2 (x) - sin^2 (x) ) - 2 * sin (x) *sin(x) * cos(x)=cos(x) * (2*cos^2 (x) - 1 ) - 2 * (1-cos^2(x) * cos(x)= 2 cos^3 (x) - cos (x) - 2 *cos(x) + 2* cos^3(x) = 4* cos^3 (x) - 3* cos(x)

Answer 2

Для доказательства тождества cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x), мы можем использовать формулу двойного угла для косинуса и формулу тройного угла для синуса.

Формула двойного угла для косинуса:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Формула тройного угла для синуса:

sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)

Давайте начнем с выражения cos(3x):

cos(3x) = cos(2x + x)

Применяя формулу двойного угла для косинуса, мы можем переписать cos(2x) в виде:

cos(3x) = cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x)

cos(3x) = (2cos^2(x) - 1)cos(x) - sin(2x)sin(x)

Далее, мы можем использовать формулу тройного угла для синуса, чтобы заменить sin(2x) и sin(x) в этом выражении:

cos(3x) = (2cos^2(x) - 1)cos(x) - (3sin(x) - 4sin^3(x))sin(x)

cos(3x) = 2cos^3(x) - cos(x) - 3sin^2(x)sin(x) + 4sin^4(x)

Следующим шагом, мы можем использовать тождество sin^2(x) = 1 - cos^2(x) для замены sin^2(x) в выражении:

cos(3x) = 2cos^3(x) - cos(x) - 3(1 - cos^2(x))sin(x) + 4sin^4(x)

cos(3x) = 2cos^3(x) - cos(x) - 3sin(x) + 3cos^2(x)sin(x) + 4sin^4(x)

Теперь мы можем использовать тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1 для замены sin^4(x) + cos^2(x)sin(x) в выражении:

cos(3x) = 2cos^3(x) - cos(x) - 3sin(x) + 3cos^2(x)sin(x) + 4(1 - cos^2(x))sin(x)

cos(3x) = 2cos^3(x) - cos(x) - 3sin(x) + 3cos^2(x)sin(x) + 4sin(x) - 4cos^2(x)sin(x)

cos(3x) = 2cos^3(x) - cos(x) - 3sin(x) + 4sin(x) - cos^2(x)sin(x)

cos(3x) = 2cos^3(x) - cos(x) + sin(x)

Наконец, мы можем заметить, что sin(x) = cos(x - π/2), и заменить sin(x) в выражении:

cos(3x) = 2cos^3(x) - cos(x) + cos(x - π/2)

cos(3x) = 2cos^3(x) - cos(x) + cos(x)cos(π/2) - sin(x)sin(π/2)

cos(3x) = 2cos^3(x) - cos(x) + cos(x)(0) - sin(x)(1)

cos(3x) = 2cos^3(x) - cos(x) - sin(x)

Таким образом, мы доказали тождество cos(3x) = 2cos^3(x) - cos(x) - sin(x).

Однако, чтобы доказать тождество cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x), нам нужно еще немного работы. Давайте продолжим.

Мы можем заметить, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, и следовательно, sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

Тогда, мы можем заменить sin(x) в предыдущем выражении:

cos(3x) = 2cos^3(x) - cos(x) - (1 - cos^2(x))

cos(3x) = 2cos^3(x) - cos(x) - 1 + cos^2(x)

cos(3x) = 2cos^3(x) + cos^2(x) - cos(x) - 1

Теперь, мы можем переписать cos^2(x) в виде 1 - sin^2(x):

cos(3x) = 2cos^3(x) + (1 - sin^2(x)) - cos(x) - 1

cos(3x) = 2cos^3(x) + 1 - sin^2(x) - cos(x) - 1

cos(3x) = 2cos^3(x) - sin^2(x) - cos(x)

Наконец, мы можем заметить, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x), и заменить sin^2(x) в выражении:

cos(3x) = 2cos^3(x) - (1 - cos^2(x)) - cos(x)

cos(3x) = 2cos^3(x) - 1 + cos^2(x) - cos(x)

cos(3x) = 2cos^3(x) + cos^2(x) - cos(x) - 1

Таким образом, мы доказали тождество cos(3x) = 2cos^3(x) + cos^2(x) - cos(x) - 1.

Однако, это не совпадает с исходным тождеством cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x). Возможно, я совершил ошибку в процессе доказательства или неправильно понял ваш вопрос. Пожалуйста, уточните, если есть какие-либо ошибки или если вы имели в виду другое тождество. Я буду рад помочь вам дальше!