Question

Найдите интервалы монотонности и экстремумы функции f(x)=9+8x^2-x^4

Answer 1

Готово! Ответ на фото: (Я не уверен в промежутках монотонности, а всё остальное верно)

Answer 2

Для нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции f(x) = 9 + 8x^2 - x^4, мы будем использовать производные функции.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции f(x). Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке.

f(x) = 9 + 8x^2 - x^4

Для нахождения производной функции, мы используем правило степенной производной и суммы производных:

f'(x) = 2 * 8x - 4x^3

Упростим это выражение:

f'(x) = 16x - 4x^3

Нахождение точек экстремума

Точки экстремума функции находятся в тех точках, где производная равна нулю или не существует. Давайте найдем такие точки, решив уравнение f'(x) = 0.

16x - 4x^3 = 0

Мы можем вынести общий множитель:

4x(4 - x^2) = 0

Теперь мы можем найти значения x, при которых производная равна нулю:

1. x = 0 2. 4 - x^2 = 0 => x^2 = 4 => x = ±2

Таким образом, у нас есть три точки экстремума: x = -2, x = 0 и x = 2.

Исследование интервалов монотонности

Для определения интервалов монотонности функции, мы можем использовать значения производной между точками экстремума.

1. Когда x < -2, производная f'(x) будет отрицательной (- * - = +), что означает, что функция будет монотонно возрастать на этом интервале. 2. Когда -2 < x < 0, производная f'(x) будет положительной (+ * - = -), что означает, что функция будет монотонно убывать на этом интервале. 3. Когда 0 < x < 2, производная f'(x) будет положительной (+ * + = +), что означает, что функция будет монотонно возрастать на этом интервале. 4. Когда x > 2, производная f'(x) будет отрицательной (- * + = -), что означает, что функция будет монотонно убывать на этом интервале.

Итоговый ответ

Итак, мы определили интервалы монотонности и точки экстремума функции f(x) = 9 + 8x^2 - x^4:

- Интервалы монотонности: - (-∞, -2): возрастание - (-2, 0): убывание - (0, 2): возрастание - (2, +∞): убывание

- Точки экстремума: - x = -2 (локальный максимум) - x = 0 (точка перегиба) - x = 2 (локальный минимум)

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.