Question

Существует ли такое целое число которое при делении на 12 дает остаток 11 а при делании на 18-остаток 1 ??

Answer 1

Нет, не существует! Числа, дающие при делении на 12 имеют вид
12x+11, а числа, дающие при делении на 18 остаток 1 имеют вид
18y+1. Тогда 18y+1=12x+11 или 18y-12x=10. Левая часть делится на 6, а правая не делится. Равенство невозможно!

Answer 2

Да, существует такое целое число. Чтобы найти это число, мы можем использовать китайскую теорему об остатках.

Китайская теорема об остатках

Китайская теорема об остатках гласит, что если у нас есть система сравнений вида: - x ≡ a (mod m) - x ≡ b (mod n)

где m и n - взаимно простые числа, то существует единственное целое число x, которое удовлетворяет этой системе сравнений.

В данном случае, у нас есть два уравнения: - x ≡ 11 (mod 12) - x ≡ 1 (mod 18)

Чтобы найти решение, мы можем использовать китайскую теорему об остатках.

Решение

Для начала, проверим, являются ли числа 12 и 18 взаимно простыми. Взаимно простые числа не имеют общих делителей, кроме 1. В данном случае, 12 и 18 имеют общий делитель 6, поэтому они не являются взаимно простыми.

Однако, мы все равно можем найти решение, используя китайскую теорему об остатках.

Применение китайской теоремы об остатках

Чтобы применить китайскую теорему об остатках, мы должны разложить числа 12 и 18 на их простые множители и найти их общие простые множители.

12 = 2^2 * 3 18 = 2 * 3^2

Общие простые множители: 2 и 3.

Теперь мы можем записать систему сравнений, используя общие простые множители: - x ≡ 11 (mod 2^2 * 3) - x ≡ 1 (mod 2 * 3^2)

Решение системы сравнений

Для каждого уравнения в системе сравнений, мы можем найти решение, используя обратное значение модуля.

Для первого уравнения: - x ≡ 11 (mod 2^2 * 3) - Обратное значение модуля 2^2 * 3 равно 1 (потому что 1 * (2^2 * 3) ≡ 1 (mod 2^2 * 3)) - Поэтому x = 11 * 1 = 11

Для второго уравнения: - x ≡ 1 (mod 2 * 3^2) - Обратное значение модуля 2 * 3^2 равно 1 (потому что 1 * (2 * 3^2) ≡ 1 (mod 2 * 3^2)) - Поэтому x = 1 * 1 = 1

Таким образом, решение системы сравнений составляет: - x = 11 (mod 12) - x = 1 (mod 18)

Ответ: x = 11.

Проверка решения

Мы можем проверить наше решение, подставив x = 11 в оба уравнения и убедившись, что они дают остаток 11 и 1 соответственно.

Проверка первого уравнения: - 11 ≡ 11 (mod 12) - верно

Проверка второго уравнения: - 11 ≡ 1 (mod 18) - верно

Таким образом, наше решение верно.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.