Question

(Х-2,5)^2·(3х-14)^5<0

Answer 1

(x-2,5)²(3x-14)^5<0
x-2,5=0⇒x=2,5          3x-14=0⇒x=14/3
         _              _              +
________________________
               2,5              14/3
x∈(-∞;2,5) U (2,5;14/3)

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем использовать метод интервалов и анализа знаков. Давайте разберемся поэтапно.

Шаг 1: Найдем значения переменной x, при которых выражение (x-2.5)^2 * (3x-14)^5 равно нулю. Чтобы (x-2.5)^2 * (3x-14)^5 было равно нулю, один или оба множителя должны быть равны нулю. Таким образом, у нас есть два случая:

1) (x-2.5)^2 = 0 Решая это уравнение, получаем x = 2.5.

2) (3x-14)^5 = 0 Решая это уравнение, получаем x = 14/3.

Шаг 2: Исследуем знак выражения (x-2.5)^2 * (3x-14)^5 на каждом из интервалов, образованных найденными значениями. Рассмотрим три интервала: (-бесконечность, 14/3), (14/3, 2.5) и (2.5, +бесконечность).

- Для интервала (-бесконечность, 14/3): Выберем любую точку в этом интервале, например, x = 0. Подставим это значение в выражение и определим знак: (0-2.5)^2 * (3*0-14)^5 = (−2.5)^2 * (−14)^5 = 6.25 * 537824 = 3361400 Так как результат положительный, то выражение больше нуля на этом интервале.

- Для интервала (14/3, 2.5): Выберем любую точку в этом интервале, например, x = 2. Подставим это значение в выражение и определим знак: (2-2.5)^2 * (3*2-14)^5 = (−0.5)^2 * (−8)^5 = 0.25 * (-32768) = -8192 Так как результат отрицательный, то выражение меньше нуля на этом интервале.

- Для интервала (2.5, +бесконечность): Выберем любую точку в этом интервале, например, x = 3. Подставим это значение в выражение и определим знак: (3-2.5)^2 * (3*3-14)^5 = (0.5)^2 * (5)^5 = 0.25 * 3125 = 781.25 Так как результат положительный, то выражение больше нуля на этом интервале.

Шаг 3: Собираем результаты. Исходя из исследования знаков, мы можем сделать следующие выводы:

- (x-2.5)^2 * (3x-14)^5 > 0 на интервалах (-бесконечность, 14/3) и (2.5, +бесконечность). - (x-2.5)^2 * (3x-14)^5 < 0 на интервале (14/3, 2.5).

Итак, неравенство (x-2.5)^2 * (3x-14)^5 < 0 выполняется только на интервале (14/3, 2.5).