Question

1+sinα+cosα=2 * cos α/2*cos(π/4-α/2)α-альфа

Answer 1

2√2*1/2*(cos(a/2-π/4+a/2)+cos(a/2+π/4-a/2))=
=√2(cos(a-π/4)+cosπ/4)=√2*(cosacosπ/4+sinasinπ/4)+√2*√2/2=
=√2*(√2/2*cosa+√/2*sina)+1=√2*√2/2(cosa+sina)+1=
=cosa+sina+1

Answer 2

Давайте решим уравнение по шагам:

\[1 + \sin(\alpha) \cos(\alpha) = 2 \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\]

1. Начнем с упрощения правой части уравнения, используя тригонометрические идентичности.

Заметим, что \(\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = \cos(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\alpha}{2}) + \sin(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\alpha}{2})\).

Таким образом, уравнение преобразуется в:

\[1 + \sin(\alpha) \cos(\alpha) = 2 \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \left(\cos(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\alpha}{2}) + \sin(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\alpha}{2})\right)\]

2. Упростим дальше:

\[1 + \sin(\alpha) \cos(\alpha) = 2 \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \cos(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\alpha}{2}) + 2 \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \sin(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\alpha}{2})\]

3. Раскроем произведение:

\[1 + \sin(\alpha) \cos(\alpha) = 2 \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(\frac{\alpha}{2}) + 2 \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(\frac{\alpha}{2})\]

4. Упростим дальше и соберем все слагаемые:

\[1 + \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sqrt{2} \cdot \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sqrt{2} \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\alpha}{2})\]

5. Теперь уравнение принимает вид:

\[\sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sqrt{2} \cdot \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sqrt{2} \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\alpha}{2})\]

6. Заметим, что слева у нас стоит произведение синуса и косинуса. Мы можем использовать тригонометрическую идентичность \(\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\), чтобы преобразовать левую часть:

\[\sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)\]

7. Теперь у нас получается уравнение:

\[\frac{1}{2} \sin(2\alpha) = \sqrt{2} \cdot \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sqrt{2} \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\alpha}{2})\]

8. Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[\sin(2\alpha) = 2\sqrt{2} \cdot \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + 2\sqrt{2} \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\alpha}{2})\]

9. Теперь преобразуем правую часть, используя тригонометрические идентичности:

\[\sin(2\alpha) = 2\sqrt{2} \cdot \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + 2\sqrt{2} \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\alpha}{2})\]

\[= 2\sqrt{2} \cdot \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sqrt{2} \cdot 2\cos(\frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\alpha}{2})\]

\[= 2\sqrt{2} \cdot \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sqrt{2} \cdot \sin(\alpha)\]

10. Теперь у нас получается уравнение:

\[\sin(2\alpha) = 2\sqrt{2} \cdot \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sqrt{2} \cdot \sin(\alpha)\]

11. Заметим, что слева у нас стоит удвоенный угол. Мы можем использовать тригонометрическую идентичность \(\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\), чтобы преобразовать уравнение:

\[2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2\sqrt{2} \cdot \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sqrt{2} \cdot \sin(\alpha)\]

12. Теперь уравнение принимает вид:

\[\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sqrt{2} \cdot \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \frac{1}{2} \cdot \sin(\alpha)\]

Это уравнение можно решить относительно \(\alpha\). Однако, прежде чем продолжить, уточните, правильно ли я интерпретировал ваш запрос и преобразовал уравнение.