Question

Упростите выражение: cos2x+cos^2(П/2+x)

Answer 1

$=cos2x+sin^{2} x=1-2sin ^{2} x+sin ^{2} x=1- sin^{2}x=cos^{2} x$

Answer 2

Для упрощения выражения cos(2x) + cos^2(π/2 + x), воспользуемся формулой суммы косинусов и формулой квадрата косинуса.

Формула суммы косинусов гласит: cos(a) + cos(b) = 2*cos[(a+b)/2]*cos[(a-b)/2]

Применяем данную формулу к выражению cos(2x) + cos^2(π/2 + x): = 2*cos[(2x + π/2 + x)/2]*cos[(2x + π/2 + x - 2x)/2] + cos^2(π/2 + x)

Упрощаем выражение в скобках: = 2*cos[(3x + π/2)/2]*cos[(π/2 + x)/2] + cos^2(π/2 + x)

Теперь воспользуемся формулой косинуса, возведенного в квадрат: cos^2(a) = (1 + cos(2a))/2

Применяем формулу косинуса, возведенного в квадрат к последнему слагаемому: = 2*cos[(3x + π/2)/2]*cos[(π/2 + x)/2] + (1 + cos(2(π/2 + x)))/2

Упрощаем выражение cos(2(π/2 + x)): = 2*cos[(3x + π/2)/2]*cos[(π/2 + x)/2] + (1 + cos(π + 2x))/2 = 2*cos[(3x + π/2)/2]*cos[(π/2 + x)/2] + (1 - cos(2x))/2

Теперь упрощаем дальше: = cos[(3x + π/2)/2]*cos[(π/2 + x)/2] + 1/2 - cos(2x)/2

Итак, получаем упрощенное выражение: cos[(3x + π/2)/2]*cos[(π/2 + x)/2] + 1/2 - cos(2x)/2