Question

гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, а один из катетов на 3 см меньше другого. найдите катеты треугольников.

Answer 1

x^2+(x-3)^2=15^2

x^2+x^2-6x+9=225

2x^2-6x-216=0   /:2

x^2-3x-108=0

D=9+432=441>0

x=(3+21)/2=12

x=(3-21)/2=-9⇒не подходит по смыcлу задачи!!

 

Поэтому; a=12, тогда b=12-3=9

===================================

Answer 2

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника буквами \( a \) и \( b \), а гипотенузу - буквой \( c \). У нас есть два условия:

1. Гипотенуза \( c \) равна 15 см. 2. Один из катетов на 3 см меньше другого, что можно записать как \( a = b - 3 \).

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 15^2 = (b - 3)^2 + b^2 \]

Раскроем скобки:

\[ 225 = b^2 - 6b + 9 + b^2 \]

Сгруппируем члены:

\[ 2b^2 - 6b - 216 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Для этого используем формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \( a = 2 \), \( b = -6 \), \( c = -216 \).

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-216) \] \[ D = 36 + 1728 \] \[ D = 1764 \]

Теперь используем формулу для корней квадратного уравнения:

\[ b = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ b = \frac{6 \pm \sqrt{1764}}{4} \] \[ b = \frac{6 \pm 42}{4} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \( b \):

1. \( b_1 = \frac{6 + 42}{4} = 12 \) (отбрасываем отрицательное значение, так как длина не может быть отрицательной). 2. \( b_2 = \frac{6 - 42}{4} = -9 \) (отбрасываем отрицательное значение).

Так как длина не может быть отрицательной, то \( b = 12 \) см.

Теперь, найдем \( a \):

\[ a = b - 3 \] \[ a = 12 - 3 \] \[ a = 9 \]

Таким образом, катеты треугольника равны 9 см и 12 см.