Question

Решите уравнение 25 ctg^2 x - 18 cos^2 x = 12

Answer 1

Для начала делишь все уравнение на 2, для его упрощения
затем вместо ctg^2x=(cos^2x)/(sin^2x) и подставляешь в уравнение, получаем
(cos^2x)/(sin^2x)-9cos^2x=6
потом делишь все на cos^2x
1/(sin^2x)-9=6
1/(sin^2x)=15
умножаем уравнение на sin^2x и получаем
15sin^2x=1 
sin^2x=1/15 
примерно получаем sinx=0,26  и x=arcsin0,26

Answer 2

Дано уравнение: 25ctg^2(x) - 18cos^2(x) = 12

Преобразуем первый член уравнения, используя определение котангенса (ctg(x) = cos(x)/sin(x)):

= 25(cos^2(x)/sin^2(x)) - 18cos^2(x) = 12

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

25cos^2(x)/sin^2(x) - 18cos^2(x) - 12 = 0

Теперь приведем дробь к общему знаменателю:

(25cos^2(x) - 18cos^2(x)sin^2(x))/sin^2(x) - 12 = 0

Упростим числитель дроби, сгруппировав члены:

(25cos^2(x)(1 - 18sin^2(x)))/sin^2(x) - 12 = 0

Заметим, что 1 - 18sin^2(x) = cos^2(x), поэтому заменим это выражение:

(25cos^4(x))/sin^2(x) - 12 = 0

Теперь приведем числитель дроби к общему знаменателю:

(25cos^4(x) - 12sin^2(x))/sin^2(x) = 0

Продолжим преобразования числителя:

25cos^4(x) - 12sin^2(x) = 0

Поделим обе части уравнения на cos^4(x):

25 - 12(sin^2(x)/cos^4(x)) = 0

Заменим sin^2(x)/cos^4(x) на тангенс в квадрате, используя соотношение тангенса и синуса и косинуса (sin^2(x)/cos^2(x) = tan^2(x)):

25 - 12tan^2(x) = 0

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

12tan^2(x) - 25 = 0

Раскроем квадрат тангенса, используя формулу: tan^2(x) = sec^2(x) - 1:

12(sec^2(x) - 1) - 25 = 0

Раскроем скобки:

12sec^2(x) - 12 - 25 = 0

12sec^2(x) - 37 = 0

Приравняем уравнение к нулю:

12sec^2(x) = 37

sec^2(x) = 37/12

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

sec(x) = √(37/12)

Заметим, что sec(x) - это обратная функция косинуса (sec(x) = 1/cos(x)), поэтому решением уравнения будет:

x = arccos(1/√(37/12))

Таким образом, x равно арккосинусу от 1, разделенного на корень квадратный из 37/12.