Question

Решите уравнение: cos2x + 5cosx + 4=0

Answer 1

2cos²x-1+5cosx+4=0
cosx=a
2a²+5a+3=0
D=25-24=1
a1=(-5-1)/4=-1,5⇒cosx=-1,5<-1 нет решения
a2=(-5+1)/4=-1⇒cosx=-1⇒x=π+2πk,k∈z

Answer 2

Давайте решим уравнение \( \cos(2x) + 5\cos(x) + 4 = 0 \).

Для удобства, обозначим \( \cos(x) \) как \( t \), тогда у нас будет следующее уравнение:

\[ \cos(2x) + 5\cos(x) + 4 = 0 \] \[ t^2 + 5t + 4 = 0 \]

Теперь мы можем решить квадратное уравнение относительно \( t \). У нас есть несколько способов это сделать, например, используя квадратное уравнение или разложение на множители.

\[ t^2 + 5t + 4 = (t + 4)(t + 1) = 0 \]

Таким образом, у нас два возможных значения \( t \):

1. \( t + 4 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( t = -4 \) 2. \( t + 1 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( t = -1 \)

Теперь, помним, что \( t = \cos(x) \), и решим уравнение для \( x \):

1. Когда \( \cos(x) = -4 \), это значение находится вне диапазона [-1, 1], так что для этого случая решений нет. 2. Когда \( \cos(x) = -1 \), это происходит при \( x = \pi + 2k\pi \), где \( k \) - целое число.

Итак, решение уравнения \( \cos(2x) + 5\cos(x) + 4 = 0 \):

\[ x = \pi + 2k\pi, \] где \( k \) - целое число.