Question

найдите y,если числа 1;корень y;3 корня из y + 4 - последовательные члены геометрической прогрессии ?

Answer 1

т.к. дана геом. прогрессия, то можно составить уравнение:

 

√у / 1 = (3√у + 4)/√у

у=3√у + 4

у - 3√у -4=0

Введем замену: х=√у

х²-3х-4=0

Д=9+16=25 - 2 корня

х1=(3+5)/2=4

х2=(3-5)/2=-1

Делаем обраьную замену:

4=√у                           или       -1=√у - решений нет

у=16

 

Проверям: подставим в нашу последовательность у=16:

1; √16;  3√16 +4

1;  4;  16  - получили верную геом. прогрессию.

 

Ответ: у=16.

Answer 2

Дано: числа 1, √y, 3√y + 4 являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Пусть а - первый член геометрической прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

Тогда первый член равен а = 1.

Второй член равен а*q = √y.

Третий член равен (а*q)*q = (√y)*q = 3√y + 4.

Теперь мы можем составить систему уравнений:

1) а = 1 2) а*q = √y 3) (√y)*q = 3√y + 4

Разделим третье уравнение на второе:

q = (3√y + 4) / √y

Уравнение 2) перепишем в следующем виде:

q = √y / a

Из уравнений (1) и (2) получаем:

√y / a = (3√y + 4) / √y

Упростим:

√y * √y / a = 3√y + 4

y / a = 3√y + 4

3√y = y / a - 4

Теперь возведем обе части в квадрат:

9y = (y / a - 4)^2

9y = (y^2 / a^2) - 8y/a + 16

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

0 = (y^2 / a^2) - 8y/a + 16 - 9y

0 = (y^2 - 8ay + 16a^2 - 9ay) / a^2

Умножим обе части уравнения на a^2:

0 = y^2 - (8a + 9a)y + 16a^2

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно y. Решим его используя дискриминант.

Дискриминант D равен:

D = (8a + 9a)^2 - 4 * 16a^2

D = 64a^2 + 144a + 9a^2 - 64a^2

D = 153a

Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня, если D = 0, то есть один действительный корень, если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Так как a = 1, подставим это значение в выражение для D:

D = 153

D > 0, значит уравнение имеет два различных действительных корня.

Итак, мы нашли, что y имеет два значения. Окончательно их можно найти, решив квадратное уравнение:

y^2 - 17y + 16 = 0

Решив это уравнение, получим два значения y.

Таким образом, мы можем найти значения y, если заданы числа 1, √y и 3√y + 4, являющиеся последовательными членами геометрической прогрессии.