Question

в какой точке графика функции у=x^3+5x^2+6x+8 касательная образует с осью x угол, равный 135 градусов

Answer 1

Тангенс угола который образует касательная к графику функции с осью Ох равен производной от этой функции

Найдем сначала производную от нашей функции:

$y'(x)=3x^2+10x+6$ 

теперь надо найти значение tg(135) =tg(90+45)=$tg(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})=-ctg(\frac{\pi}{4})=-1$

дальше все просто:

Решаем квадратное уравнение:

 $3x^2+10x+6=-1 \\ 3x^2+10x+7=0 \\ D=100-4*3*7=16 x_1=\frac{-10-4}{6}=-\frac{14}{6}=-\frac{7}{3}=-2\frac{1}{3} \\ x_2=\frac{-10+4}{6}=-\frac{6}{6}=-1$

 Теперь найдем координаты у:

$y_1={-\frac{7}{3}}^3+5({-\frac{7}{3}}^2)+6\cdot ({-\frac{7}{3}})+8=\frac{14}{27}+8= \\=8\frac{14}{27} \\ y_2=-1+5-6+8=13-7=6$

Вроде так, надо только проверить может где в вычислениях ошибся.

Таким образом получаем 2 пары точек $(-2\frac{1}{3};8\frac{14}{27}) \\(-1;6)$

Ответ:

$(-2\frac{1}{3};8\frac{14}{27}) \\(-1;6)$

Answer 2

Для того чтобы найти точку на графике функции, в которой касательная образует угол 135 градусов с осью x, нам необходимо вычислить производную функции и найти такую точку, в которой производная равна тангенсу этого угла.

Пусть дана функция f(x) = x^3 + 5x^2 + 6x + 8. Вычислим производную этой функции:

f'(x) = 3x^2 + 10x + 6.

Теперь найдем точку, в которой производная равна тангенсу 135 градусов:

tg(135°) = tg(3π/4) = -1.

Используя это значение, решим уравнение 3x^2 + 10x + 6 = -1:

3x^2 + 10x + 7 = 0.

Это квадратное уравнение имеет два корня: x = -1 и x = -7/3. Найдем значения функции в этих точках:

f(-1) = (-1)^3 + 5(-1)^2 + 6(-1) + 8 = 1 + 5 - 6 + 8 = 8,

f(-7/3) = (-7/3)^3 + 5(-7/3)^2 + 6(-7/3) + 8 ≈ -9.59.

Таким образом, касательная к графику функции f(x) в точке x = -1 образует угол 135 градусов с осью x.