Question

1)Найдите значение выражения 4sin альфа- 3cos альфа 5sin альфаесли, а) tg альфа =2, b) ctg альфа=3.2)Проверьте справедливость равенств: а) 1-ctg в квадрате альфа=(1+ctg в квадрате альфа ) (sin в квадрате альфа -cos в квадрате альфа)б) 2sin альфа+ корень из 3 = 2 cos альфа - 1 1+2 cos альфа корень из 3 - 2 sin альфа

Answer 1

................................................................

Answer 2

1) Для нахождения значения выражения 4sinα - 3cosα + 5sinα, используем тригонометрические соотношения:

sinα = tgα / √(1 + tg²α) cosα = 1 / √(1 + tg²α)

Подставляем значения tgα = 2:

sinα = 2 / √(1 + 4) = 2 / √5 cosα = 1 / √(1 + 4) = 1 / √5

Подставляем значения в исходное выражение:

4sinα - 3cosα + 5sinα = 4 * (2 / √5) - 3 * (1 / √5) + 5 * (2 / √5) = 8 / √5 - 3 / √5 + 10 / √5 = (8 - 3 + 10) / √5 = 15 / √5 = (15 * √5) / 5 = 3√5

Ответ: 3√5

2) Проверим справедливость первого равенства:

1 - ctg²α = (1 + ctg²α) + (sin²α - cos²α) Для проверки приведем всё к общему знаменателю:

(1 - ctg²α) = (1 + ctg²α) + (sin²α - cos²α) = (1 + ctg²α) + (sin²α - cos²α)(sin²α + cos²α) / (sin²α + cos²α) = (1 + ctg²α) + (sin⁴α - cos⁴α) / (sin²α + cos²α)

Таким образом, равенство не является справедливым.

Проверим второе равенство:

2sinα + √3 = 2cosα - 1

Для этого приведем все тригонометрические функции к синусам и косинусам:

2sinα + √3 = 2cosα - 1 2(sinα + cosα) = 2cosα - 1 2sin(α + π/4) = 2cosα - 1

Используя формулы приведения, имеем:

2sin(α + π/4) = 2cosα - 1 sin(α + π/4) = cosα - 1/2

Далее можно применить формулу приведения:

sin(α + β) = sinα*cosβ + cosα*sinβ

sin(α + π/4) = sinα*cos(π/4) + cosα*sin(π/4)

1/√2 = √2/2 * cosα + √2/2 * sinα

1 = cosα + sinα

Данное равенство выполняется, так как после преобразований приходим к тождественному равенству 1 = 1.

Ответ: второе равенство - справедливо.