Question

Докажите что если два числа и разность их корней рациональные числа то корни из этих чисел рациональные числа

Answer 1

Пусть а и в -корни из чисел. Их разность с.
Но тогда (а*а-в*в)/с=д  число рациональное (отношение рациональных)
д=а+в
а=(с+д)/2
в=(д-с)/2
Значит а и в -рациональные.
Рассуждение правильное, если а не равно в. Но если а=в, то утверждение в целом не верно. Разность корней равна 0, а ) - число рациональное. Сами числа при этом могут быть равными иррациональными, а корни из них иррациональные.
Если а т в не равны, то утверждение доказано.

Answer 2

Постановка задачи

Мы должны доказать, что если два числа и разность их корней являются рациональными числами, то сами корни также являются рациональными числами.

Доказательство

Предположим, что у нас есть два числа a и b, и разность их корней является рациональным числом. Пусть корни этих чисел обозначаются как x и y соответственно.

Тогда мы можем записать уравнение вида:

a - b = x - y

Мы знаем, что a и b являются рациональными числами, а значит, их разность тоже будет рациональным числом.

Теперь мы можем выразить x через y, используя это уравнение:

x = (a - b) + y

Таким образом, мы получили выражение для x в терминах рационального числа (a - b) и рационального числа y.

Теперь давайте рассмотрим квадратное уравнение с корнями x и y:

(x - y)^2 = (a - b)^2

Раскрывая скобки, получаем:

x^2 - 2xy + y^2 = a^2 - 2ab + b^2

Теперь мы можем выразить x^2 через y^2, используя выражение для x:

(a - b)^2 - 2(a - b)y + y^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a^2 - 2ab + b^2) - 2(a - b)y + y^2 = a^2 - 2ab + b^2

- 2(a - b)y + y^2 = 0

y^2 - 2(a - b)y = 0

y(y - 2(a - b)) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных варианта:

1. y = 0 2. y - 2(a - b) = 0

Если y = 0, то x = a - b. Мы знаем, что a и b являются рациональными числами, поэтому их разность (a - b) также будет рациональным числом. Следовательно, x будет рациональным числом.

Если y - 2(a - b) = 0, то y = 2(a - b). Мы знаем, что a и b являются рациональными числами, поэтому их разность (a - b) также будет рациональным числом. Умножение рационального числа на 2 также даст рациональное число. Следовательно, y будет рациональным числом. Используя выражение для x, мы можем выразить x как x = (a - b) + y. Поскольку (a - b) и y являются рациональными числами, их сумма также будет рациональным числом. Следовательно, x будет рациональным числом.

Таким образом, мы доказали, что если два числа и разность их корней являются рациональными числами, то сами корни также являются рациональными числами.

Заключение

Мы доказали, что если два числа и разность их корней являются рациональными числами, то сами корни также являются рациональными числами. Это доказательство основано на алгебраических преобразованиях и использовании свойств рациональных чисел.

Примечание: Данное доказательство представлено на основе логического рассуждения и не является прямым цитированием из источников.